Задача 10150343 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{| \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} |}^{x - 1,2} + {| \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} |}^{1,2 - x} \leq 2

шаг 1.Замена и неравенство о среднем

Полагаем A = |2x/3 − 2/3| = (2/3)|x − 1|, s = A^(x − 1,2). Тогда A^(1,2 − x) = 1/s. По неравенству о среднем s + 1/s ≥ 2 при s > 0, равенство при s = 1.

A = | \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} | = \frac{2}{3} | x - 1 |

s = A^{x - 1,2}, A^{1,2 - x} = \frac{1}{s}

s + \frac{1}{s} \leq 2 ⟺ s = 1 ⟺ A^{x - 1,2} = 1

шаг 2.Условие A^(x − 1,2) = 1

Степень A^B = 1 при положительном A: либо A = 1, либо B = 0.

A^{x - 1,2} = 1 ⟺ [\begin{matrix} A = 1 \\ x - 1,2 = 0 и A \neq 0 \end{matrix}

ОДЗ: A > 0 для нецелой степени ⟺ x ≠ 1.

шаг 3.Решаем каждое условие

A = 1 ⟺ \frac{2}{3} | x - 1 | = 1 ⟺ | x - 1 | = \frac{3}{2}

x = 1 \pm \frac{3}{2} ⟹ x = \frac{5}{2} или x = - \frac{1}{2}

x - 1,2 = 0 ⟺ x = \frac{6}{5}

проверка: A = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15} \neq 0

шаг 4.Итог

ответ

x \in {- \frac{1}{2}; \frac{6}{5}; \frac{5}{2}}