Задача 10150182 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} - 5 x + 3}{x - 4} + \frac{5 x - 27}{x - 6} \leq x + 4

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x - 4 \neq 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 4 \\ x \neq 6 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим (x + 4) влево и приводим к общему знаменателю (x − 4)(x − 6).

\frac{x^{2} - 5 x + 3}{x - 4} + \frac{5 x - 27}{x - 6} - (x + 4) \leq 0

\frac{(x^{2} - 5 x + 3) (x - 6) + (5 x - 27) (x - 4) - (x + 4) (x - 4) (x - 6)}{(x - 4) (x - 6)} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Числитель — сумма трёх слагаемых: первая дробь (x² − 5x + 3) домножена на (x − 6), вторая (5x − 27) — на (x − 4), перенесённое (x + 4) — на (x − 4)(x − 6). Раскрываем все три произведения параллельно — старшие x³ и x² взаимно уничтожаются.

(x^{2} - 5 x + 3) (x - 6) + (5 x - 27) (x - 4) - (x + 4) (x - 4) (x - 6) =

= (x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 18) + (5 x^{2} - 47 x + 108) -

- (x^{3} - 6 x^{2} - 16 x + 96) = (1 - 1) x^{3} + (- 11 + 5 + 6) x^{2} +

+ (33 - 47 + 16) x + (- 18 + 108 - 96) = 2 x - 6 = 2 (x - 3)

шаг 4.Метод интервалов

Делим обе части на положительную константу 2 — направление неравенства сохраняется. Корни в порядке возрастания: 3 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 4 (выколота — точка разрыва), 6 (выколота — точка разрыва).

\frac{2 (x - 3)}{(x - 4) (x - 6)} \leq 0

\frac{x - 3}{(x - 4) (x - 6)} \leq 0

Пробная точка x = 10: (10 − 3)/((10 − 4)(10 − 6)) = 7/24 > 0, значит на (6; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнем числителя 3; точки 4 и 6 остаются выколотыми.

ответ

x \in (- \infty; 3] \cup (4; 6)