шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, оба знаменателя не должны обращаться в ноль. Раскладываем 42 + x − x² = −(x − 7)(x + 6).

Проверка по Виета: для x² − x − 42 сумма корней должна равняться 1, произведение — −42. У нас 7 + (−6) = 1 и 7 · (−6) = −42 — оба сходятся. Парабола ветвями вниз, поэтому выражение неотрицательно между корнями.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево, выносим общий корень за скобку и приводим скобки к общему знаменателю.

шаг 3.Разбираем два случая

На ОДЗ корень неотрицателен и обращается в ноль на границах x = −6 и x = 7. При нулевом корне обе части исходного неравенства равны нулю. При положительном корне на него делим — знак сохраняется.

Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≥» становится «≤».

шаг 4.Метод интервалов

Корень числителя x = −2 закрашен (нестрогое ≤), точки разрыва −5 и −3,5 выколоты. Границы ОДЗ −6 и 7 закрашены: там корень обращается в ноль.

Пробная точка x = 0 на интервале (−2; 7): (0 + 2)/((7)(5)) = 2/35 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Знаки ставим только внутри ОДЗ. Проверка: x = −5,5 ⇒ слева 2,5/(−4) = −0,625, справа 2,5/(−0,5) = −5 — неравенство верно ✓. Проверка: x = −4 ⇒ слева −4,69, справа 4,69 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.