Задача 10150141 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель x − 4 не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x - 4 \neq 0 ⟺ x \neq 4

шаг 2.Применяем разность квадратов

Замечаем, что 25/4 = (5/2)². Переносим (5/2)² влево и применяем формулу A² − B² = (A − B)(A + B): неравенство превращается в произведение двух множителей ≤ 0.

{(\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2})}^{2} \leq \frac{25}{4}

{(\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2})}^{2} \leq {(\frac{5}{2})}^{2}

{(\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} \leq 0

(\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2} - \frac{5}{2}) (\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2} + \frac{5}{2}) \leq 0

Здесь A = 2/(x − 4) + (x − 4)/2 (выражение в исходных скобках), B = 5/2.

шаг 3.Упрощаем первый множитель

Приводим f − 5/2 к общему знаменателю 2(x − 4), раскрываем числитель, приводим подобные и сразу раскладываем.

\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2} - \frac{5}{2} = \frac{4 + {(x - 4)}^{2} - 5 (x - 4)}{2 (x - 4)} =

= \frac{4 + x^{2} - 8 x + 16 - 5 x + 20}{2 (x - 4)} =

= \frac{x^{2} - 13 x + 40}{2 (x - 4)} = \frac{(x - 5) (x - 8)}{2 (x - 4)}

Корни x² − 13x + 40 подбираем устно по теореме Виета: ищем два числа с произведением 40 (свободный член) и суммой 13 (минус коэффициент при x). Подходят 5 и 8, значит x² − 13x + 40 = (x − 5)(x − 8).

шаг 4.Упрощаем второй множитель

Аналогично приводим f + 5/2 к общему знаменателю 2(x − 4) и сразу раскладываем.

\frac{2}{x - 4} + \frac{x - 4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4 + {(x - 4)}^{2} + 5 (x - 4)}{2 (x - 4)} =

= \frac{4 + x^{2} - 8 x + 16 + 5 x - 20}{2 (x - 4)} =

= \frac{x^{2} - 3 x}{2 (x - 4)} = \frac{x (x - 3)}{2 (x - 4)}

x² − 3x = x(x − 3) — выносим x за скобку.

шаг 5.Метод интервалов

Подставляем найденные множители обратно в произведение и сводим к одной дроби — на ней и применяем метод интервалов.

\frac{(x - 5) (x - 8)}{2 (x - 4)} \cdot \frac{x (x - 3)}{2 (x - 4)} \leq 0

\frac{x (x - 3) (x - 5) (x - 8)}{4 {(x - 4)}^{2}} \leq 0

Пробная точка x = 1 на интервале (0; 3): подставляем в x(x − 3)(x − 5)(x − 8)/(4(x − 4)²) и получаем 1·(−2)·(−4)·(−7)/(4·9) = −56/36 < 0, значит знак «−». Корни числителя 0, 3, 5, 8 нечётной кратности — знаки чередуются через них. Корень знаменателя 4 чётной кратности, поэтому через него знак выражения не меняется: слева и справа от 4 одинаковые «+». Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−».

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Применяем разность квадратов

шаг 3.Упрощаем первый множитель

шаг 4.Упрощаем второй множитель

шаг 5.Метод интервалов

ответ