Задача 10150166 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} + 2 x + 2}{x^{2} + 2 x} + \frac{3 x + 1}{x - 1} \leq \frac{4 x + 1}{x}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели x² + 2x, x − 1 и x не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² + 2x = x(x + 2) — получаем три различных нуля знаменателей: −2, 0, 1.

ОДЗ

x^{2} + 2 x = x (x + 2)

{\begin{matrix} x (x + 2) \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 2 \\ x \neq 0 \\ x \neq 1 \end{matrix}

У первой дроби знаменатель — квадратный трёхчлен x² + 2x. У него общий множитель x, раскладывается как x(x + 2) и даёт два нуля: 0 и −2.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим правую часть налево. Общий знаменатель — x(x + 2)(x − 1).

\frac{x^{2} + 2 x + 2}{x (x + 2)} + \frac{3 x + 1}{x - 1} - \frac{4 x + 1}{x} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

После приведения к общему знаменателю x(x + 2)(x − 1) числитель — сумма трёх произведений: первую дробь домножили на (x − 1), вторую — на x, третью — на (x + 2).

(x^{2} + 2 x + 2) (x - 1) + (3 x + 1) \cdot x (x + 2) - (4 x + 1) (x + 2) (x - 1) =

= (x^{3} + x^{2} - 2) + (3 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x) -

- (4 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 2) = (1 + 3 - 4) x^{3} + (1 + 7 - 5) x^{2} +

+ (2 + 7) x + (- 2 + 2) = 3 x^{2} + 9 x = 3 x (x + 3)

\frac{3 x (x + 3)}{x (x + 2) (x - 1)} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни числителя 3x(x + 3): 0 и −3. Корни знаменателя x(x + 2)(x − 1): 0, −2, 1. Точка x = 0 — общий ноль числителя и знаменателя: исключена ОДЗ и знак выражения через неё не меняется — рисуем петельку. Корень −3 — закрашен при нестрогом ≤ 0; −2 и 1 — выколоты (точки разрыва).

Пробная x = −4: 12/(−40) = −3/10 < 0 → знак «−» на (−∞; −3). Через петельку 0 знак не меняется, через корни −3, −2, 1 — чередуется.

ответ

x \in (- \infty; - 3] \cup (- 2; 0) \cup (0; 1)