Задача 10150164 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{5} - x^{2}}{x^{2}} \geq \frac{x^{3} - 1}{4 x^{2}}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x^{2} \neq 0 ⟺ x \neq 0

шаг 2.Раскладываем числители на множители

В обоих числителях прячется множитель x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) (формула разности кубов).

x^{3} - 1 = x^{3} - 1^{3} = (x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

x^{5} - x^{2} = x^{2} (x^{3} - 1) = x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)

x^{2} + x + 1 = 0

D = 1 - 4 = - 3 < 0

нет действительных корней, x^{2} + x + 1 > 0 при всех x

Формула разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

шаг 3.Сводим к одной дроби

Приводим к общему знаменателю 4x² и выносим общий множитель (x − 1)(x² + x + 1) за скобки.

\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2}} - \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{4 x^{2}} \geq 0

\frac{4 x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1) - (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{4 x^{2}} \geq 0

\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (4 x^{2} - 1)}{4 x^{2}} \geq 0

\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (2 x - 1) (2 x + 1)}{4 x^{2}} \geq 0

4x² − 1 = (2x)² − 1² = (2x − 1)(2x + 1) — разность квадратов.

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −1/2 (закрашена), 0 (выколота — точка разрыва кратности 2, петелька), 1/2 (закрашена), 1 (закрашена). Все корни числителя — нестрогое ≥, поэтому закрашены.

Пробная точка x = 10: (10 − 1)(20 − 1)(20 + 1)/(100) > 0, значит на (1; +∞) знак «+». Корень знаменателя 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнями числителя −1/2, 1/2, 1; точка разрыва 0 остаётся выколотой.

ответ

x \in [- \frac{1}{2}; 0) \cup (0; \frac{1}{2}] \cup [1; + \infty)