Задача 10150342 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{(| x^{2} - 8 x + 16 | - | x - 4 |) \cdot (| x + 6 | - | x - 2 |)}{(| x^{2} - 1 | - 8) \cdot (x^{2} - 6 | x | + 5)} \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль. Первая скобка обращается в ноль при x² = 9, вторая раскладывается как квадратный трёхчлен относительно |x|.

ОДЗ

| x^{2} - 1 | = 8 ⟺ x^{2} - 1 = \pm 8 ⟺ x^{2} = 9

x^{2} - 6 | x | + 5 = (| x | - 1) (| x | - 5)

x \neq \pm 3, x \neq \pm 1, x \neq \pm 5

Вариант x² − 1 = −8 даёт x² = −7 и решений не имеет. В трёхчлене x встречается только через x² = |x|² и |x|, поэтому его удобно разложить относительно |x|: по теореме Виета сумма корней 6, произведение 5 → корни |x| = 1 и |x| = 5.

шаг 2.Упрощаем числитель

Первый трёхчлен — полный квадрат, поэтому модуль с него снимается, и первая скобка превращается в произведение |x − 4|(|x − 4| − 1). Разности модулей рационализируем: |f| − |g| имеет тот же знак, что (f − g)(f + g).

| x^{2} - 8 x + 16 | = | {(x - 4)}^{2} | = | x - 4 |^{2}

| x - 4 |^{2} - | x - 4 | = | x - 4 | (| x - 4 | - 1)

| x - 4 | - 1 = | x - 4 | - | 1 | \to (x - 4 - 1) (x - 4 + 1) = (x - 5) (x - 3)

| x + 6 | - | x - 2 | \to ((x + 6) - (x - 2)) ((x + 6) + (x - 2)) = 8 (2 x + 4)

Множитель 8 · 2 = 16 положителен и на знак не влияет — от второй скобки остаётся (x + 2). Множитель |x − 4| неотрицателен: он обращается в ноль при x = 4 и знак произведения через эту точку не меняет.

шаг 3.Упрощаем знаменатель

Обе скобки знаменателя — тоже разности модулей (или сводятся к ним), поэтому рационализируем их так же.

| x^{2} - 1 | - 8 = | x^{2} - 1 | - | 8 | \to (x^{2} - 9) (x^{2} + 7)

x^{2} + 7 > 0 ⟹ (x^{2} - 9) = (x - 3) (x + 3)

| x | - 1 \to (x - 1) (x + 1), | x | - 5 \to (x - 5) (x + 5)

Множитель x² + 7 положителен при любом x и на знак не влияет.

шаг 4.Метод интервалов

Собираем всё вместе. Множители (x − 3) и (x − 5) стоят и в числителе, и в знаменателе: это общие нули суммарно чётной кратности → петельки, знак через них не меняется, а сами точки выколоты по ОДЗ. Точка x = 4 — корень множителя |x − 4|: он неотрицателен, поэтому здесь тоже петелька, но точка закрашена (нестрогое ≤).

\frac{| x - 4 | (x - 5) (x - 3) (x + 2)}{(x + 5) (x + 3) (x + 1) (x - 1) (x - 3) (x - 5)} \leq 0

Пробная точка x = 0 на интервале (−1; 1): числитель 4 · (−5) · (−3) · 2 = 120, знаменатель 5 · 3 · 1 · (−1) · (−3) · (−5) = −225, дробь ≈ −0,53 < 0 — знак «−». Через три петельки 3, 4 и 5 знак не меняется, поэтому правее единицы всюду «+». Точка x = 4 входит в ответ изолированно: там числитель обращается в ноль, а знаменатель нет. Проверка: x = −4 ⇒ дробь положительна — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in (- \infty; - 5) \cup (- 3; - 2] \cup (- 1; 1) \cup {4}