Задача 10150220 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x}{x - 2} - \frac{4 x^{3} - 25 x^{2} + 45 x - 23}{2 x - 3} \leq - 7

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x - 2 \neq 0 \\ 2 x - 3 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq \frac{3}{2} \end{matrix}

шаг 2.Сокращаем первую дробь

В числителе первой дроби выносим 2x и раскладываем по Виета: произведение 8, сумма 6 → 2 и 4. Сокращается множитель (x − 2).

2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x = 2 x (x^{2} - 6 x + 8) = 2 x (x - 2) (x - 4)

\frac{2 x (x - 2) (x - 4)}{x - 2} - \frac{4 x^{3} - 25 x^{2} + 45 x - 23}{2 x - 3} \leq - 7

2 x (x - 4) - \frac{4 x^{3} - 25 x^{2} + 45 x - 23}{2 x - 3} \leq - 7

Сокращение (x − 2) допустимо: x = 2 уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем. Точка разрыва 2 на оси метода интервалов сохраняется как выколотая.

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим −7 влево и приводим к общему знаменателю (2x − 3).

2 x (x - 4) - \frac{4 x^{3} - 25 x^{2} + 45 x - 23}{2 x - 3} + 7 \leq 0

\frac{2 x (x - 4) (2 x - 3) - (4 x^{3} - 25 x^{2} + 45 x - 23) + 7 (2 x - 3)}{2 x - 3} \leq 0

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем произведения, собираем числитель и приводим подобные поразрядно. Старшие x³ взаимно уничтожаются.

2 x (x - 4) (2 x - 3) - (4 x^{3} - 25 x^{2} + 45 x - 23) + 7 (2 x - 3) =

= (4 x^{3} - 22 x^{2} + 24 x) - 4 x^{3} + 25 x^{2} - 45 x + 23 +

+ (14 x - 21) = (4 - 4) x^{3} + (- 22 + 25) x^{2} +

+ (24 - 45 + 14) x + (23 - 21) = 3 x^{2} - 7 x + 2

3 x^{2} - 7 x + 2 = 0

D = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25

x = \frac{7 \pm 5}{6} \begin{matrix} = 2 \\ = \frac{1}{3} \end{matrix}

3 x^{2} - 7 x + 2 = 3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2)

\frac{3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2)}{2 x - 3} \leq 0

шаг 5.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: 1/3 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 3/2 (выколота — точка разрыва), 2 (выколота — ОДЗ).

Пробная точка x = 3: (3·3 − 1)(3 − 2)/(2·3 − 3) = 8·1/3 > 0, значит на (2; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнем числителя 1/3; точки разрыва 3/2 и 2 (исключена ОДЗ) остаются выколотыми.

ответ

x \in (- \infty; \frac{1}{3}] \cup (\frac{3}{2}; 2)