условие

x(x−2)3+(x−3)3−1≥0

шаг 1.Раскрываем кубы в знаменателе

Раскрываем (x − 2)³ и (x − 3)³ по формуле (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, складываем и вычитаем 1.

(x−2)3=x3−6x2+12x−8
(x−3)3=x3−9x2+27x−27
(x−2)3+(x−3)3−1=
=(x3−6x2+12x−8)+(x3−9x2+27x−27)−1=
=2x3−15x2+39x−36

шаг 2.Разложение на множители

Группировка по парам общего множителя не даёт — ищем рациональный корень по теореме Безу: перебираем делители свободного члена 36. Подходит x = 3.

Дальше делим многочлен на (x − 3) столбиком — в частном получим квадратный трёхчлен 2x² − 9x + 12 (можно вместо столбика воспользоваться схемой Горнера Схема Горнера
Компактный способ поделить многочлен на (x−r). Все вычисления укладываются в две строки: сверху — коэффициенты делимого, снизу — коэффициенты частного и остаток.
Алгоритм:
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху +r⋅ (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он 0, деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
Применим к 2x3−15x2+39x−36 и r=3. Коэффициенты сверху: 2,−15,39,−36.
       │   2    −15     39    −36
   r=3 │   2     −9     12      0
Считаем по шагам:
— сносим 2;
−15+3⋅2=−9;
39+3⋅(−9)=12;
−36+3⋅12=0 — остаток ноль.
Нижняя строка 2,−9,12,0 — это коэффициенты частного 2x2−9x+12 и остаток 0. Тот же ответ, что и при делении столбиком.
, результат тот же). Дискриминант 2x² − 9x + 12 отрицателен — действительных корней нет.
P(x)=2x3−15x2+39x−36
P(3)=2⋅33−15⋅32+39⋅3−36=54−135+117−36=0
по теореме Безу: (x−3) — множитель
Теорема Безу
Если число r — корень многочлена P(x) (то есть P(r)=0), то (x−r) — множитель P(x). Обратное тоже верно.
Как ищем r: перебираем делители свободного члена. У нас многочлен 2x3−15x2+39x−36 — свободный член 36, его делители: ±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±18,±36. Подставляем кандидата и проверяем, обращается ли многочлен в ноль.
Проверяем r=3:
P(3)=2⋅27−15⋅9+39⋅3−36=54−135+117−36=0
Значит (x−3) — множитель многочлена.
−2x3−15x2+39x−36x−3−2x3−6x2+39x−362x2−9x+12−2x3−9x2+39x−362x3−−9x2+27x−36−2x3−9x212x−362x3−9x2−12x−36−2x3−9x2+12x0
2x3−15x2+39x−36=(x−3)(2x2−9x+12)
Деление столбиком
Делим 2x3−15x2+39x−36 на (x−3). На каждом шаге смотрим на старший член текущего «остатка» и подбираем такой множитель к (x−3), чтобы старшие члены совпали. Это и есть очередной член частного.
1) На что умножить (x−3), чтобы получилось 2x3? На 2x2. Записываем 2x2 в частное и вычитаем 2x2⋅(x−3)=2x3−6x2. Остаётся −9x2+39x−36.
2) На что умножить (x−3), чтобы получилось −9x2? На −9x. Дописываем −9x в частное, вычитаем −9x⋅(x−3)=−9x2+27x. Остаётся 12x−36.
3) На что умножить (x−3), чтобы получилось 12x? На 12. Дописываем 12 в частное, вычитаем 12⋅(x−3)=12x−36. Остаток 0 — деление точное.
В правом столбце собралось частное 2x2−9x+12, значит 2x3−15x2+39x−36=(x−3)(2x2−9x+12).
2x2−9x+12=0
D=(−9)2−4⋅2⋅12=81−96=−15<0
нет действительных корней, 2x2−9x+12>0 при всех x

Парабола 2x² − 9x + 12 ветвями вверх, дискриминант отрицателен — строго положительна на всей оси.

шаг 3.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль. Поскольку множитель 2x² − 9x + 12 > 0 при всех x, единственное ограничение — (x − 3) ≠ 0.

ОДЗ
(x−3)(2x2−9x+12)≠0⟺x−3≠0⟺x≠3

шаг 4.Метод интервалов

Так как 2x² − 9x + 12 > 0 при всех x, знак выражения определяется x и (x − 3). Корни в порядке возрастания: 0 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥), 3 (выколота — точка разрыва).

x(x−3)(2x2−9x+12)≥0
+−+03
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 10: 10/((10 − 3)·положительное) > 0, значит на (3; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнем числителя 0; точка разрыва 3 остаётся выколотой.

ответ

x∈(−∞;0]∪(3;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -