шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем оба многочлена на множители. Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль.

Проверка по Виета: для x² − 9x + 18 сумма корней должна равняться 9, произведение — 18. У нас 3 + 6 = 9 и 3 · 6 = 18 — оба сходятся; для x² − 11x + 30 сумма 11, произведение 30 → корни 5 и 6. Пробная точка x = 1 для x(x − 5)(x − 6): 1 · (−4) · (−5) = 20 > 0 — знак «+» на (0; 5); дальше знаки чередуются. После исключения шестёрки остаётся [0; 3) ∪ (3; 5] ∪ (6; +∞).

шаг 2.Упрощаем рациональный множитель

Меняем знак у второй дроби, чтобы у обеих был знаменатель с множителем (x − 6), и приводим к общему знаменателю. В числителе получается сумма единицы и квадрата — она положительна при любом x.

шаг 3.Разбираем два случая

На ОДЗ корень неотрицателен и обращается в ноль в точках 0, 5 и 6; шестёрка исключена ОДЗ. При нулевом корне произведение равно нулю. При положительном корне числитель положителен, поэтому знак определяет знаменатель.

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

Условие второго случая пересекаем с ОДЗ и добавляем изолированные точки первого случая.

Точка x = 5 попадает в ответ дважды: и как граница пересечения, и как ноль корня из первого случая. Проверка: x = 4 ⇒ скобка равна 2/((1)(−2)) = −1, корень равен √8 ≈ 2,83, произведение ≈ −2,83 ≤ 0 ✓. Проверка: x = 1 ⇒ скобка равна 5/((−2)(−5)) = 0,5 > 0, корень положителен — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.