Задача 10150313 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2^{| x |} - 6 - \frac{9 \cdot 2^{| x |} - 37}{4^{| x |} - 7 \cdot 2^{| x |} + 12} \leq \frac{1}{2^{| x |} - 4}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

4^{| x |} = {(2^{| x |})}^{2}

4^{| x |} - 7 \cdot 2^{| x |} + 12 = (2^{| x |} - 3) (2^{| x |} - 4)

{\begin{matrix} (2^{| x |} - 3) (2^{| x |} - 4) \neq 0 \\ 2^{| x |} - 4 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 2^{| x |} \neq 3 \\ 2^{| x |} \neq 4 \end{matrix}

⟺ {\begin{matrix} | x | \neq \log_{2} 3 \\ | x | \neq 2 \end{matrix} ⟺ x \neq \pm \log_{2} 3, x \neq \pm 2

Корни t² − 7t + 12 устно по Виета: произведение 12, сумма 7 → 3 и 4. Дублирующее 2^{|x|} ≠ 4 (есть и во втором знаменателе) выписываем один раз.

шаг 2.Замена на t

Положим t = 2^{|x|}. Из |x| ≥ 0 следует t ≥ 1 — это критическое ограничение, отличающее задачу от случая 2^x.

t = 2^{| x |}, t \geq 1, t \neq 3, t \neq 4

t - 6 - \frac{9 t - 37}{(t - 3) (t - 4)} \leq \frac{1}{t - 4}

Поскольку |x| ≥ 0, минимальное значение t = 2^0 = 1; верхнего предела нет, t уходит в +∞. Этот момент учтём на шаге метода интервалов.

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (t − 3)(t − 4).

t - 6 - \frac{9 t - 37}{(t - 3) (t - 4)} - \frac{1}{t - 4} \leq 0

\frac{(t - 6) (t - 3) (t - 4) - (9 t - 37) - (t - 3)}{(t - 3) (t - 4)} \leq 0

шаг 4.Раскладываем числитель

Общий множитель (t − 4) выносим, оставшийся квадратный трёхчлен t² − 9t + 8 раскладываем по Виета.

\begin{matrix} (t - 6) (t - 3) (t - 4) - (9 t - 37) - (t - 3) = \\ = (t - 6) (t - 3) (t - 4) - 10 t + 40 = \\ = (t^{2} - 9 t + 18) (t - 4) - 10 (t - 4) = \\ = (t - 4) (t^{2} - 9 t + 8) = (t - 4) (t - 1) (t - 8) \end{matrix}

\frac{(t - 1) (t - 4) (t - 8)}{(t - 3) (t - 4)} \leq 0

Корни t² − 9t + 8 устно по Виета: произведение 8, сумма 9 → 1 и 8.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корни числителя: 1 и 8 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя 3 — выколота. Точка t = 4 — четный корень → петелька (выколота по ОДЗ), знак через неё не меняется. После — пересечение с ограничением t ≥ 1: левая часть оси отрезается, точка t = 1 остаётся изолированной.

Пробная точка t = 2 на (1; 3): (2−1)(2−4)(2−8)/((2−3)(2−4)) = 12/2 = 6 > 0, знак «+». Через корни 1, 3, 8 знаки чередуются; через петельку t = 4 знак НЕ меняется. После пересечения с t ≥ 1 интервал (−∞; 1] стягивается в одну точку t = 1.

шаг 6.Обратная замена

Связь t = 2^{|x|} монотонна по |x|: |x| = log₂t. Дальше снимаем модуль — каждое двойное неравенство на |x| распадается на систему:

«|x| < b» даёт x ∈ (−b; b), «|x| > a» — x ∉ [−a; a].

Пересечение этих условий внутри каждого случая даёт два симметричных x-интервала. Три случая 1), 2), 3) объединяются в итоговый ответ.

t = 2^{| x |} ⟺ | x | = \log_{2} t

\begin{matrix} t = 1 & ⟹ | x | = \log_{2} 1 = 0 ⟹ x = 0 \\ t = 3 & ⟹ | x | = \log_{2} 3 \\ t = 4 & ⟹ | x | = \log_{2} 4 = 2 \\ t = 8 & ⟹ | x | = \log_{2} 8 = 3 \end{matrix}

1) t \in {1} ⟺ | x | = 0 ⟺ x = 0

2) t \in (3; 4) ⟺ \log_{2} 3 < | x | < 2 ⟺ {\begin{matrix} | x | < 2 \\ | x | > \log_{2} 3 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} - 2 < x < 2 \\ x < - \log_{2} 3 или x > \log_{2} 3 \end{matrix} ⟺ x \in (- 2; - \log_{2} 3) \cup (\log_{2} 3; 2)

3) t \in (4; 8] ⟺ 2 < | x | \leq 3 ⟺ {\begin{matrix} | x | \leq 3 \\ | x | > 2 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} - 3 \leq x \leq 3 \\ x < - 2 или x > 2 \end{matrix} ⟺ x \in [- 3; - 2) \cup (2; 3]

Типы границ сохраняются: открытое в |x| → открытое в x, закрытое → закрытое. Граница t = 1 здесь даёт изолированную точку x = 0 в ответе.

ответ

x \in [- 3; - 2) \cup (- 2; - \log_{2} 3) \cup {0} \cup (\log_{2} 3; 2) \cup (2; 3]

$3^{| x |} - 8 - \frac{3^{| x |} + 9}{9^{| x |} - 4 \cdot 3^{| x |} + 3} \leq \frac{5}{3^{| x |} - 1}$