условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
Корни x² + 3x + 2 устно по теореме Виета: произведение 2, сумма −3 → −1 и −2.
шаг 2.Сводим к одной дроби
Раскладываем числитель первой дроби x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) (Виета: произведение 8, сумма −6 → −2 и −4). Общий знаменатель — (x + 1)(x + 2).
Вынесли общий множитель (x + 4) за скобки в числителе.
шаг 3.Разность квадратов
В числителе (x + 2)² − 1 — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b) при a = x + 2, b = 1.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: −4, −3, −1. В знаменателе: −2, −1 — точки разрыва. Точка x = −1 — корень чётной кратности (общий ноль числителя и знаменателя) → выколота по ОДЗ, петелька, знак через неё не меняется. Корни числителя −4 и −3 — закрашены (нестрогое ≥).
Пробная точка x = 0 на интервале (−1; +∞): подставляем в (x + 4)(x + 1)(x + 3)/((x + 1)(x + 2)) и получаем 4·1·3/(1·2) = 12/2 = 6 > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корни −4, −3, −2 знаки чередуются; через петельку −1 знак НЕ меняется. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнями числителя −4 и −3.