Задача 10150140 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10})}^{2} \leq \frac{25}{4}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель 5x − 21 не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

5 x - 21 \neq 0 ⟺ x \neq \frac{21}{5}

шаг 2.Применяем разность квадратов

Замечаем, что 25/4 = (5/2)². Переносим (5/2)² влево и применяем формулу A² − B² = (A − B)(A + B): неравенство превращается в произведение двух множителей ≤ 0.

{(\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10})}^{2} \leq \frac{25}{4}

{(\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10})}^{2} \leq {(\frac{5}{2})}^{2}

{(\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} \leq 0

(\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10} - \frac{5}{2}) (\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10} + \frac{5}{2}) \leq 0

Здесь A = 10/(5x − 21) + (5x − 21)/10 (выражение в исходных скобках), B = 5/2.

шаг 3.Упрощаем первый множитель

Приводим f − 5/2 к общему знаменателю 10(5x − 21). Числитель — квадратный трёхчлен относительно (5x − 21), сразу раскладываем по Виета.

\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10} - \frac{5}{2} =

= \frac{100 + {(5 x - 21)}^{2} - 25 (5 x - 21)}{10 (5 x - 21)} =

= \frac{((5 x - 21) - 5) ((5 x - 21) - 20)}{10 (5 x - 21)} =

= \frac{(5 x - 26) (5 x - 41)}{10 (5 x - 21)}

Считаем (5x − 21)² − 25(5x − 21) + 100 как квадратный трёхчлен относительно y = 5x − 21. По Виета: сумма корней 25, произведение 100 → корни 5 и 20. Раскладывается как (y − 5)(y − 20) = ((5x − 21) − 5)((5x − 21) − 20) = (5x − 26)(5x − 41).

шаг 4.Упрощаем второй множитель

Аналогично приводим f + 5/2 к общему знаменателю 10(5x − 21) и раскладываем как квадратный относительно (5x − 21).

\frac{10}{5 x - 21} + \frac{5 x - 21}{10} + \frac{5}{2} =

= \frac{100 + {(5 x - 21)}^{2} + 25 (5 x - 21)}{10 (5 x - 21)} =

= \frac{((5 x - 21) + 5) ((5 x - 21) + 20)}{10 (5 x - 21)} =

= \frac{(5 x - 16) (5 x - 1)}{10 (5 x - 21)}

(5x − 21)² + 25(5x − 21) + 100 — квадратный относительно y = 5x − 21. Сумма корней −25, произведение 100 → корни −5 и −20. Раскладывается как (y + 5)(y + 20) = ((5x − 21) + 5)((5x − 21) + 20) = (5x − 16)(5x − 1).

шаг 5.Метод интервалов

Подставляем найденные множители обратно в произведение и сводим к одной дроби — на ней и применяем метод интервалов.

\frac{(5 x - 26) (5 x - 41)}{10 (5 x - 21)} \cdot \frac{(5 x - 1) (5 x - 16)}{10 (5 x - 21)} \leq 0

\frac{(5 x - 1) (5 x - 16) (5 x - 26) (5 x - 41)}{100 {(5 x - 21)}^{2}} \leq 0

Пробная точка x = 0: при x = 0 все четыре скобки числителя (5x − 1), (5x − 16), (5x − 26), (5x − 41) отрицательны, произведение четырёх отрицательных — положительно; знаменатель 100(5x − 21)² > 0. Значит на интервале (−∞; 1/5) знак «+». Корни числителя 1/5, 16/5, 26/5, 41/5 нечётной кратности — знаки чередуются через них. Корень знаменателя 21/5 чётной кратности, поэтому через него знак выражения не меняется: слева и справа от 21/5 одинаковые «+». Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−».

ответ

x \in [\frac{1}{5}; \frac{16}{5}] \cup [\frac{26}{5}; \frac{41}{5}]