условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем правый знаменатель: −4 − 3x + x² = x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) (Виета: произведение −4, сумма 3 → 4 и −1). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сворачиваем полный квадрат
В числителе правой части — полный квадрат: 25 + 40x + 16x² = (4x)² + 2·4x·5 + 5² = (4x + 5)² (формула a² + 2ab + b² = (a + b)²). Тот же квадрат уже стоит в числителе левой части.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим правую часть налево и приводим к общему знаменателю (x + 1)(x − 4). Первое слагаемое домножаем на (x − 4). Выносим общий множитель (4x + 5)² за скобки.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: −5/4 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется); закрашена, в ответе появится изолированной точкой (нестрогое ≥). Корень числителя 5 — закрашен. В знаменателе: −1, 4 — точки разрыва.
Пробная точка x = 10 на интервале (5; +∞): подставляем в (4x + 5)²(x − 5)/((x + 1)(x − 4)) и получаем 45²·5/(11·6) > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корень числителя −5/4 чётной кратности знак не меняется (петелька); через корни −1, 4, 5 знаки чередуются. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» плюс изолированная точка x = −5/4.