условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
Корни x² − 3x + 2 устно по теореме Виета: произведение 2, сумма 3 → 1 и 2.
шаг 2.Сводим к одной дроби
Раскладываем числитель первой дроби x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) (Виета: произведение 3, сумма 4 → 1 и 3). Общий знаменатель — (x − 1)(x − 2).
Вынесли общий множитель (x − 3) за скобки в числителе.
шаг 3.Разность квадратов
В числителе (x − 1)² − 1 — разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b) при a = x − 1, b = 1.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: 0, 2, 3. В знаменателе: 1, 2 — точки разрыва. Точка x = 2 — корень чётной кратности (общий ноль числителя и знаменателя) → выколота по ОДЗ, петелька, знак через неё не меняется. Корни числителя 0 и 3 — закрашены (нестрогое ≤).
Пробная точка x = 4 на интервале (3; +∞): подставляем в x(x − 2)(x − 3)/((x − 1)(x − 2)) и получаем 4·2·1/(3·2) = 8/6 = 4/3 > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корни 0, 1, 3 знаки чередуются; через петельку 2 знак НЕ меняется. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя 0 и 3.