Задача 10150227 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{(x^{2} + 7 x + 12) (x + 3)}{x^{2} + 6 x + 8} + \frac{(x^{2} + 8 x + 15) (x + 3)}{x^{2} + 7 x + 10} \leq (x^{2} + 1) (x^{2} + 6 x + 9)

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем оба знаменателя устно по теореме Виета.

ОДЗ

x^{2} + 6 x + 8 = (x + 2) (x + 4)

x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)

{\begin{matrix} (x + 2) (x + 4) \neq 0 \\ (x + 2) (x + 5) \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 2 \\ x \neq - 4 \\ x \neq - 5 \end{matrix}

Корни x² + 6x + 8: произведение 8, сумма 6 → 2 и 4. Корни x² + 7x + 10: произведение 10, сумма 7 → 2 и 5.

шаг 2.Раскладываем числители и сокращаем

В числителях левой части — те же квадратные трёхчлены, что и в знаменателях, но смещённые на единицу: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) и x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5). В правой части x² + 6x + 9 = (x + 3)² (полный квадрат).

x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4)

x^{2} + 8 x + 15 = (x + 3) (x + 5)

x^{2} + 6 x + 9 = {(x + 3)}^{2}

\frac{(x + 3) (x + 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4)} + \frac{(x + 3) (x + 5) (x + 3)}{(x + 2) (x + 5)} \leq (x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2}

\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} + \frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} \leq (x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2}

\frac{2 {(x + 3)}^{2}}{x + 2} \leq (x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2}

Сокращения (x + 4) и (x + 5) допустимы: x = −4 и x = −5 уже исключены ОДЗ как корни знаменателей, поэтому делители не равны нулю — корни не теряем. Точки разрыва −4 и −5 на оси метода интервалов сохраняем как выколотые.

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим правую часть налево и выносим общий множитель (x + 3)² за скобки.

\frac{2 {(x + 3)}^{2}}{x + 2} - (x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2} \leq 0

(x + 3)^{2} (\frac{2}{x + 2} - (x^{2} + 1)) \leq 0

\frac{(x + 3)^{2} (2 - (x^{2} + 1) (x + 2))}{x + 2} \leq 0

шаг 4.Упрощаем скобку

Раскрываем (x² + 1)(x + 2) и приводим подобные в (2 − (x² + 1)(x + 2)).

(x^{2} + 1) (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} + x + 2

2 - (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = - x^{3} - 2 x^{2} - x =

= - x (x^{2} + 2 x + 1) = - x {(x + 1)}^{2}

\frac{(x + 3)^{2} \cdot (- x (x + 1)^{2})}{x + 2} \leq 0

\frac{- x {(x + 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 2} \leq 0

В −x³ − 2x² − x выносится общий множитель −x; остаётся x² + 2x + 1, и это снова полный квадрат (x + 1)².

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

После шага 4 неравенство имеет вид −x(x + 1)²(x + 3)²/(x + 2) ≤ 0. Корни числителя: −3 (чётная кратность → петелька, закрашена), −1 (чётная кратность → петелька, закрашена) и 0 (закрашена). Точка разрыва упрощённого знаменателя: −2 — выколота. Но ОДЗ исходного выражения исключает ещё −4 и −5 (точки разрыва знаменателей, сокращённых в шаге 2) — учитываем на отдельной оси. Финальный ответ — пересечение.

Пробная точка x = 1 на интервале (0; +∞): подставляем в −x(x + 1)²(x + 3)²/(x + 2) и получаем −1·4·16/3 = −64/3 < 0, значит знак «−». Через корни −2 и 0 знаки чередуются; через петельки −3 и −1 знак НЕ меняется. На оси «неравенство» решением ≤ 0 будут (−∞; −2) ∪ {−1} ∪ [0; +∞). Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точки −5 и −4.

ответ

x \in (- \infty; - 5) \cup (- 5; - 4) \cup (- 4; - 2) \cup {- 1} \cup [0; + \infty)

$\frac{(x^{2} + 5 x + 4) (x + 1)}{x^{2} + 6 x + 8} + \frac{(x^{2} + 4 x + 3) (x + 1)}{x^{2} + 5 x + 6} \leq (x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x + 1)$