условие

x−4−63x−700x2−15x+44≤1x−11

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Корни x² − 15x + 44 находим через дискриминант: D = 225 − 176 = 49, x = (15 ± 7)/2 → 4 и 11.

ОДЗ
{x2−15x+44≠0x−11≠0⟺{(x−4)(x−11)≠0x−11≠0⟺{x≠4x≠11

Дублирующее условие x ≠ 11 (оно есть и во втором знаменателе, и в корнях первого) выписываем один раз.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 4)(x − 11). Первое слагаемое домножаем на (x − 4)(x − 11), второе уже с нужным знаменателем, третье — на (x − 4).

x−4−63x−700(x−4)(x−11)−1x−11≤0
(x−4)(x−4)(x−11)−(63x−700)−(x−4)(x−4)(x−11)≤0

шаг 3.Раскрываем числитель

Числитель — сумма трёх слагаемых: первое (x − 4) домножено на (x − 4)(x − 11), у второго знаменатель уже был общий, третье (1) — на (x − 4).

(x−4)(x−4)(x−11)−(63x−700)−(x−4)=
=(x3−19x2+104x−176)−(63x−700)−(x−4)=
=x3−19x2+(104−63−1)x+(−176+700+4)=
=x3−19x2+40x+528
x3−19x2+40x+528(x−4)(x−11)≤0

шаг 4.Раскладываем числитель

Числитель — кубический. Группировка по парам здесь не сходится, поэтому ищем рациональный корень по теореме Безу — проверяем делители свободного члена 528. Подходит x = 11: его и нужно вынести, тогда (x − 11) сократится со знаменателем.

Дальше делим многочлен на (x − 11) столбиком — это даст квадратный трёхчлен в частном (можно вместо столбика воспользоваться схемой Горнера Схема Горнера
Компактный способ поделить многочлен на (x−r). Все вычисления укладываются в две строки: сверху — коэффициенты делимого, снизу — коэффициенты частного и остаток.
Алгоритм:
— первый коэффициент сносим вниз без изменений;
— каждый следующий = текущий коэффициент сверху +r⋅ (предыдущий снизу);
— последнее число — остаток (если он 0, деление точное); остальные числа снизу — коэффициенты частного.
Применим к x3−19x2+40x+528 и r=11. Коэффициенты сверху: 1,−19,40,528.
        │   1    −19    40    528
   r=11 │   1     −8   −48      0
Считаем по шагам:
— сносим 1;
−19+11⋅1=−8;
40+11⋅(−8)=−48;
528+11⋅(−48)=0 — остаток ноль.
Нижняя строка 1,−8,−48,0 — это коэффициенты частного x2−8x−48 и остаток 0. Тот же ответ, что и при делении столбиком.
, результат тот же).
P(x)=x3−19x2+40x+528
P(11)=113−19⋅112+40⋅11+528=
=1331−2299+440+528=0
по теореме Безу: (x−11) — множитель
Теорема Безу
Если число r — корень многочлена P(x) (то есть P(r)=0), то (x−r) — множитель P(x). Обратное тоже верно.
Как ищем r: перебираем делители свободного члена. У нас многочлен x3−19x2+40x+528 — свободный член 528, его делители: ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±11,±12,… Подставляем кандидата и проверяем, обращается ли многочлен в ноль.
В этой задаче «целевой» корень очевиден: в знаменателе уже стоит (x−11), и мы хотим его сократить — значит, в первую очередь проверяем r=11. Если P(11)=0, то (x−11) — множитель числителя.
−x3−19x2+40x+528x−11−x3−11x2+40x+528x2−8x−48−x3−8x2+40x+528x3−−8x2+88x+528−x3−8x2−48x+528x3−8x2−−48x+528−x3−8x2−48x0
x3−19x2+40x+528=(x−11)(x2−8x−48)
Деление столбиком
Делим x3−19x2+40x+528 на (x−11). На каждом шаге смотрим на старший член текущего «остатка» и подбираем такой множитель к (x−11), чтобы старшие члены совпали. Это и есть очередной член частного.
1) На что умножить (x−11), чтобы получилось x3? На x2. Записываем x2 в частное и вычитаем x2⋅(x−11)=x3−11x2. Остаётся −8x2+40x+528.
2) На что умножить (x−11), чтобы получилось −8x2? На −8x. Дописываем −8x в частное, вычитаем −8x⋅(x−11)=−8x2+88x. Остаётся −48x+528.
3) На что умножить (x−11), чтобы получилось −48x? На −48. Дописываем −48 в частное, вычитаем −48⋅(x−11)=−48x+528. Остаток 0 — деление точное.
В правом столбце собралось частное x2−8x−48, значит x3−19x2+40x+528=(x−11)(x2−8x−48).
x2−8x−48=0
D=(−8)2−4⋅(−48)=64+192=256
x=8±2562=8±162=12=−4
x2−8x−48=(x−12)(x+4)
x3−19x2+40x+528=(x−11)(x−12)(x+4)
(x−11)(x−12)(x+4)(x−4)(x−11)≤0
(x−12)(x+4)x−4≤0

Сокращение (x − 11) допустимо: x = 11 уже исключено ОДЗ — корень не теряем (точка 11 вернётся выколотой при пересечении с ОДЗ).

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни числителя −4 и 12 закрашены (нестрогое ≤ 0). Точка разрыва 4 выколота. Точка x = 11 не входит в упрощённое выражение, но при пересечении с ОДЗ возвращается как выколотая.

−+−+неравенство4−412
−∞
+∞
x
ОДЗ411
−∞
+∞
x
пересечение4−41112
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 13 на интервале (12; +∞): подставляем в (x − 12)(x + 4)/(x − 4) и получаем (1)(17)/(9) = 17/9 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ дополнительно исключает точку 11.

ответ

x∈(−∞;−4]∪(4;11)∪(11;12]
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -