Задача 10150330 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

3 - x \neq 0 ⟺ x \neq 3

шаг 2.Сведение к совокупности систем

Из-за сложности числителя решаем методом сведения к совокупности систем неравенств. Заметим, что 0,04 = 0,2².

\frac{{0,2}^{| x^{2} - 4 x + 2 |} - 0,04}{3 - x} \leq 0

\frac{{0,2}^{| x^{2} - 4 x + 2 |} - {0,2}^{2}}{3 - x} \leq 0

\frac{N}{D} \leq 0 ⟺ [\begin{matrix} {\begin{matrix} N \geq 0 \\ D < 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} N \leq 0 \\ D > 0 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} N & = {0,2}^{| x^{2} - 4 x + 2 |} - {0,2}^{2} \\ D & = 3 - x \end{matrix}

шаг 3.Числитель: раскрытие модуля

Поскольку 0,2 < 1 — функция 0,2^t убывает, при «снятии» оснований направление неравенства ПЕРЕВОРАЧИВАЕТСЯ. Для N ≤ 0 получим |…| ≥ 2. Для N ≥ 0 получим |…| ≤ 2.

Дальше модульные неравенства раскрываются по стандартным формулам — для | f | ≥ a и | f | ≤ a.

\begin{matrix} {0,2}^{| \dots |} - {0,2}^{2} \leq 0 \\ {0,2}^{| \dots |} \leq {0,2}^{2} \\ | \dots | \geq 2 \end{matrix} \begin{matrix} {0,2}^{| \dots |} - {0,2}^{2} \geq 0 \\ {0,2}^{| \dots |} \geq {0,2}^{2} \\ | \dots | \leq 2 \end{matrix}

| f | \geq a ⟺ [\begin{matrix} f \geq a \\ f \leq - a \end{matrix} | f | \leq a ⟺ {\begin{matrix} f \leq a \\ f \geq - a \end{matrix}

при a \geq 0

В нашей задаче f = x² − 4x + 2, a = 2.

шаг 4.Два случая совокупности систем

Из шага 2 неравенство распадается на 2 случая для N и D. Из-за модуля в каждом случае N распадается ещё на 2 ветви (шаг 3).

\begin{matrix} Случай 1: [\begin{matrix} {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 2 \geq 2 \\ x < 3 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 2 \leq - 2 \\ x < 3 \end{matrix} \end{matrix} \\ Случай 2: {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 2 \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + 2 \geq - 2 \\ x > 3 \end{matrix} \end{matrix}

шаг 5.Решение случая 1

Случай 1 — совокупность 2 систем. Пункт (1) решаем методом интервалов и пересекаем с x < 3. Пункт (2) даёт единственную точку x = 2 — её сразу заносим на финальную прямую.

\begin{matrix} (1) & (2) \\ {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 2 \geq 2 \\ x < 3 \end{matrix} & {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 2 \leq - 2 \\ x < 3 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x (x - 4) \geq 0 \\ x < 3 \end{matrix} & {\begin{matrix} (x - 2)^{2} \leq 0 \\ x < 3 \end{matrix} \\ x \in (- \infty; 0] & {\begin{matrix} x = 2 \\ x < 3 \end{matrix} \\ x = 2 \end{matrix}

Итог случая 1: (- \infty; 0] \cup {2}

Корни x(x − 4): 0 и 4 — закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 1 в x(x − 4): 1·(1 − 4) = 1·(−3) = −3 < 0. Между корнями знак «−» — НЕ подходит. На крайних интервалах знаки «+» — это и есть решение x(x − 4) ≥ 0: (−∞; 0] ∪ [4; +∞).

шаг 6.Решение случая 2

В среднем неравенстве распознаём квадрат разности: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Любой квадрат ≥ 0, поэтому это условие выполнено при ЛЮБОМ x.

{\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 2 \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + 2 \geq - 2 \\ x > 3 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x (x - 4) \leq 0 \\ {(x - 2)}^{2} \geq 0 \\ x > 3 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \in [0; 4] \\ любое x \\ x > 3 \end{matrix} ⟹ x \in (3; 4]

Корни x(x − 4): 0 и 4 — закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 1 в x(x − 4): 1·(1 − 4) = 1·(−3) = −3 < 0. Между корнями знак «−» — совпадает с условием ≤ 0 → решение [0; 4]. На крайних интервалах знаки чередуются: «+».

шаг 7.Объединение случаев

Случай 1 и случай 2 пришли из совокупности систем — они связаны через ИЛИ, поэтому ответы соединяем через ОБЪЕДИНЕНИЕ на финальной оси.