шаг 1.Область допустимых значений

Оба подкоренных выражения неотрицательны, а знаменатель √(x − 1) не равен нулю — значит x − 1 строго положительно.

Условие на кубический многочлен проверим в конце: оно окажется следствием самого неравенства.

шаг 2.Умножаем на √(x − 1)

Множитель √(x − 1) на ОДЗ строго положителен, поэтому направление неравенства сохраняется. Произведение корней сворачиваем в корень произведения.

шаг 3.Возводим в квадрат

Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат сохраняет строгое неравенство. После приведения подобных остаётся кубическое неравенство, которое раскладывается на множители.

Проверка по Виета: для x² − 6x + 8 сумма корней должна равняться 6, произведение — 8. У нас 2 + 4 = 6 и 2 · 4 = 8 — оба сходятся.

шаг 4.Метод интервалов

Корни 0, 2 и 4 выколоты (строгое >). На ОДЗ 1 < x ≤ 5 остаются два куска.

Пробная точка x = 3 на интервале (2; 4): 3 · 1 · (−1) = −3 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Ноль лежит вне ОДЗ, знаки ставим только на (1; 5]. Условие x³ − 7x² + 14x − 5 ≥ 0 выполняется автоматически: по тождеству x³ − 7x² + 14x − 5 = (x − 1)(5 − x) + x(x − 2)(x − 4) первое слагаемое на ОДЗ неотрицательно, а второе на найденном множестве положительно. Проверка: x = 5 ⇒ слева 0, справа √15/2 ≈ 1,94 — строгое неравенство верно ✓.