Задача 10150108 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Для второго проверяем через дискриминант.

ОДЗ

x^{2} - x + 1 = 0

D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 = - 3 < 0

нет действительных корней, x^{2} - x + 1 > 0 при всех x

{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x^{2} - x + 1 \neq 0 \end{matrix} ⟺ x \neq - 1

Парабола x² − x + 1 ветвями вверх, без действительных корней, поэтому строго положительна — в ОДЗ это условие выполнено автоматически.

шаг 2.Сокращаем и делаем замену

Раскладываем x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1) (формула суммы кубов). В первой дроби (x + 1) сокращается. Замечаем, что после сокращения у обеих дробей появилось одно подвыражение x² − x + 1. Вводим замену u = x² − x + 1.

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{3}{x^{2} - x + 1} \leq 4

(x^{2} - x + 1) + \frac{3}{x^{2} - x + 1} \leq 4

u = x^{2} - x + 1, u > 0

u + \frac{3}{u} \leq 4

Сокращение (x + 1) допустимо: x = −1 уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.

шаг 3.Решаем неравенство относительно u

Сводим к одной дроби с общим знаменателем u и раскладываем числитель.

u + \frac{3}{u} - 4 \leq 0

\frac{u^{2} - 4 u + 3}{u} \leq 0

\frac{(u - 1) (u - 3)}{u} \leq 0

Корни u² − 4u + 3 устно по Виета: произведение 3, сумма 4 → 1 и 3.

шаг 4.Метод интервалов в u

Знаменатель не убираем — корень u = 0 учитываем как обычную точку метода интервалов. Корни в порядке возрастания: 0 (выколота — точка разрыва), 1 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 3 (закрашена — корень числителя).

Пробная точка u = 4 на интервале (3; +∞): (4 − 1)(4 − 3)/4 = 3/4 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя 1 и 3: u ∈ (−∞; 0) ∪ [1; 3]. Обе ветки проверяем через обратную замену.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем u = x² − x + 1 в каждый из интервалов шага 4 — слева ветка u < 0, справа ветка 1 ≤ u ≤ 3. Двойное неравенство справа распадается в систему двух условий через И.

u < 0 : x^{2} - x + 1 < 0

D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 = - 3 < 0

x \in ⌀

1 \leq u \leq 3 : 1 \leq x^{2} - x + 1 \leq 3

{\begin{matrix} x^{2} - x + 1 \geq 1 \\ x^{2} - x + 1 \leq 3 \end{matrix}

{\begin{matrix} x^{2} - x \geq 0 \\ x^{2} - x - 2 \leq 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} x (x - 1) \geq 0 \\ (x + 1) (x - 2) \leq 0 \end{matrix}

Слева: уравнение x² − x + 1 = 0 имеет D = −3 < 0 → парабола ветвями вверх без действительных корней → строго положительна → строгое x² − x + 1 < 0 не выполняется ни при каких x, ветка пустая. Справа: корни x² − x − 2 устно по Виета (произведение −2, сумма 1) → −1 и 2.

шаг 6.Пересечение и метод интервалов

Ветка u < 0 пустая, поэтому финальный ответ — это пересечение системы из ветки 1 ≤ u ≤ 3 с ОДЗ. Условие x(x − 1) ≥ 0: парабола ветвями вверх, корни 0 и 1, положительна вне корней. Условие (x + 1)(x − 2) ≤ 0: парабола ветвями вверх, корни −1 и 2, отрицательна между корнями. Пересекаем, потом исключаем x = −1 (ОДЗ).

Пересечение «+» из первой оси и «−» из второй даёт два отрезка: [−1; 0] и [1; 2]. После пересечения с ОДЗ (x ≠ −1) граница −1 выколота.