Задача 10150327 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{3} - 27}{| x - 3 |} - x | x - 3 | \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9) по формуле разности кубов. Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

x^{2} + 3 x + 9 = 0, D = 9 - 36 = - 27 < 0 ⟹ x^{2} + 3 x + 9 > 0 всегда

| x - 3 | \neq 0 ⟺ x \neq 3

шаг 2.Случай 1: x > 3

|x − 3| = x − 3. После сокращения (x − 3) в первом слагаемом получаем простое линейное неравенство.

\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} - x (x - 3) \geq 0

(x^{2} + 3 x + 9) - x^{2} + 3 x \geq 0

6 x + 9 \geq 0

x \geq - \frac{3}{2}

шаг 3.Случай 2: x < 3

|x − 3| = 3 − x = −(x − 3). После сокращения знак переворачивается.

\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{- (x - 3)} - x \cdot (3 - x) \geq 0

- (x^{2} + 3 x + 9) - 3 x + x^{2} \geq 0

- 6 x - 9 \geq 0

x \leq - \frac{3}{2}

шаг 4.Объединение

ответ

x \in (- \infty; - \frac{3}{2}] \cup (3; + \infty)

$\frac{x^{3} - 125}{| x - 5 |} - x | x - 5 | \geq 0$