условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² − 4x = x(x − 4). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x − 4)(x + 3). Первое слагаемое домножаем на (x + 3), перенесённую 2 — на x(x − 4)(x + 3), последнюю дробь — на x(x − 4).
шаг 3.Раскрываем числитель
Раскрываем три произведения параллельно, собираем поразрядно, выносим общий множитель −3.
шаг 4.Группировка в числителе
В x³ − 4x² − x + 4 группируем первые два слагаемых и последние два, выносим общие множители.
шаг 5.Метод интервалов
Раскладываем оставшийся x² − 1 как разность квадратов. Корни числителя: −1, 1, 4. В знаменателе: 0, 4, −3 — точки разрыва. Точка x = 4 — корень чётной кратности (общий ноль числителя и знаменателя) → выколота по ОДЗ, петелька, знак через неё не меняется. Корни числителя −1 и 1 — закрашены (нестрогое ≤).
Пробная точка x = 10 на интервале (4; +∞): подставляем в −3(x − 4)(x − 1)(x + 1)/(x(x − 4)(x + 3)) и получаем −3·6·9·11/(10·6·13) = −1782/780 < 0, значит знак «−». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корни −3, −1, 0, 1 знаки чередуются; через петельку 4 знак НЕ меняется. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −1 и 1.