Задача 10150106 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} - 16 x + 39}{x^{2} - 12 x + 27} \leq \frac{x - 18}{x - 9} + \frac{4}{x - 8}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль — выписываем условия и решаем относительно x.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} - 12 x + 27 \neq 0 \\ x - 9 \neq 0 \\ x - 8 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 3 \\ x \neq 9 \\ x \neq 8 \end{matrix}

Корни x²−12x+27 = (x−3)(x−9) — найдём через дискриминант в шаге 2.

шаг 2.Раскладываем числитель и знаменатель

Оба квадратных трёхчлена раскладываем через дискриминант.

x^{2} - 16 x + 39 = 0

D = 16^{2} - 4 \cdot 39 = 256 - 156 = 100

x = \frac{16 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{16 \pm 10}{2} \begin{matrix} = 13 \\ = 3 \end{matrix}

x^{2} - 16 x + 39 = (x - 3) (x - 13)

x^{2} - 12 x + 27 = 0

D = 12^{2} - 4 \cdot 27 = 144 - 108 = 36

x = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2} \begin{matrix} = 9 \\ = 3 \end{matrix}

x^{2} - 12 x + 27 = (x - 3) (x - 9)

шаг 3.Сокращаем общий множитель

Подставляем разложения из шага 2, общий (x − 3) сокращается.

\frac{x^{2} - 16 x + 39}{x^{2} - 12 x + 27} = \frac{(x - 3) (x - 13)}{(x - 3) (x - 9)} = \frac{x - 13}{x - 9}

\frac{x - 13}{x - 9} \leq \frac{x - 18}{x - 9} + \frac{4}{x - 8}

Сокращение (x − 3) допустимо: x = 3 уже исключено ОДЗ — корень не теряем.

шаг 4.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево, объединяем дроби с общим знаменателем (x−9)(x−8) и упрощаем числитель.

\frac{x - 13}{x - 9} - \frac{x - 18}{x - 9} - \frac{4}{x - 8} \leq 0

\frac{(x - 13) - (x - 18)}{x - 9} - \frac{4}{x - 8} \leq 0

\frac{5}{x - 9} - \frac{4}{x - 8} \leq 0

\frac{5 (x - 8) - 4 (x - 9)}{(x - 9) (x - 8)} \leq 0

\frac{5 x - 40 - 4 x + 36}{(x - 9) (x - 8)} \leq 0

\frac{x - 4}{(x - 9) (x - 8)} \leq 0

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

4 — корень числителя (закрашен, неравенство нестрогое); 8 и 9 — точки разрыва (выколоты, обращают знаменатель в ноль); 3 — выколота как точка ОДЗ из исходного выражения.

Пробная точка x = 10 на интервале (9; +∞): подставляем в (x−4)/((x−9)(x−8)) и получаем (10−4)/((10−9)(10−8)) = 6/(1·2) = 3 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ исключает точки 3, 8, 9 — отсюда и финальный ответ.

ответ

x \in (- \infty; 3) \cup (3; 4] \cup (8; 9)

$\frac{x^{2} + 16 x + 39}{x^{2} + 12 x + 27} \geq \frac{x + 18}{x + 9} - \frac{6}{x + 8}$