Задача 10150209 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{18 - x^{2} - 3 x}{x^{2} + 6 x} \leq 1 + \frac{3}{x + 2}

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² + 6x = x(x + 6). Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} + 6 x \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x (x + 6) \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq - 6 \\ x \neq - 2 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x + 6)(x + 2). Первое слагаемое домножаем на (x + 2), перенесённую 1 — на x(x + 6)(x + 2), последнюю дробь — на x(x + 6).

\frac{18 - x^{2} - 3 x}{x (x + 6)} - 1 - \frac{3}{x + 2} \leq 0

\frac{(18 - x^{2} - 3 x) (x + 2) - x (x + 6) (x + 2) - 3 x (x + 6)}{x (x + 6) (x + 2)} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения параллельно, собираем поразрядно, выносим общий множитель −2.

(18 - x^{2} - 3 x) (x + 2) - x (x + 6) (x + 2) - 3 x (x + 6) =

= (- x^{3} - 5 x^{2} + 12 x + 36) - (x^{3} + 8 x^{2} + 12 x) - (3 x^{2} + 18 x) =

= (- 1 - 1) x^{3} + (- 5 - 8 - 3) x^{2} + (12 - 12 - 18) x + 36 =

= - 2 x^{3} - 16 x^{2} - 18 x + 36 = - 2 (x^{3} + 8 x^{2} + 9 x - 18)

\frac{- 2 (x^{3} + 8 x^{2} + 9 x - 18)}{x (x + 6) (x + 2)} \leq 0

шаг 4.Группировка в числителе

Разбиваем 8x² = 6x² + 2x² и 9x = 12x − 3x, чтобы каждая пара содержала общий множитель (x + 6).

x^{3} + 8 x^{2} + 9 x - 18 = (x^{3} + 6 x^{2}) + (2 x^{2} + 12 x) - (3 x + 18) =

= x^{2} (x + 6) + 2 x (x + 6) - 3 (x + 6) =

= (x + 6) (x^{2} + 2 x - 3)

\frac{- 2 (x + 6) (x^{2} + 2 x - 3)}{x (x + 6) (x + 2)} \leq 0

Разбиение коэффициентов 8x² = 6x² + 2x² и 9x = 12x − 3x выбрано так, чтобы появился общий множитель (x + 6). По теореме Безу P(−6) = −216 + 288 − 54 − 18 = 0 — это и подтверждает, что (x + 6) — корень числителя.

шаг 5.Метод интервалов

Раскладываем оставшийся x² + 2x − 3 устно по Виета: произведение −3, сумма −2 → 1 и −3, то есть (x + 3)(x − 1). Корни числителя: −6, −3, 1. В знаменателе: 0, −6, −2 — точки разрыва. Точка x = −6 — корень чётной кратности (общий ноль числителя и знаменателя) → выколота по ОДЗ, петелька, знак через неё не меняется. Корни числителя −3 и 1 — закрашены (нестрогое ≤).

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

\frac{- 2 (x + 6) (x + 3) (x - 1)}{x (x + 6) (x + 2)} \leq 0

Пробная точка x = 10 на интервале (1; +∞): подставляем в −2(x + 6)(x + 3)(x − 1)/(x(x + 6)(x + 2)) и получаем −2·16·13·9/(10·16·12) = −3744/1920 < 0, значит знак «−». Через корни −3, −2, 0, 1 знаки чередуются; через петельку −6 знак НЕ меняется. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −3 и 1.

ответ

x \in (- \infty; - 6) \cup (- 6; - 3] \cup (- 2; 0) \cup [1; + \infty)