Задача 10150103 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{2} - 3 x + 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} \geq 3

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x \neq 0

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим 3 влево и приводим к общему знаменателю x.

x^{2} - 3 x + 1 - 3 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} \geq 0

x^{2} - 3 x - 2 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} \geq 0

\frac{x (x^{2} - 3 x - 2) - (x^{3} + x^{2} + 3 x - 21)}{x} \geq 0

\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 2 x - x^{3} - x^{2} - 3 x + 21}{x} \geq 0

\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 21}{x} \geq 0

шаг 3.Корни числителя

Раскладываем квадратный трёхчлен −4x² − 5x + 21 через дискриминант с подставленными отрицательными a и c сразу.

- 4 x^{2} - 5 x + 21 = 0

D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 21 = 25 + 336 = 361

x = \frac{5 \pm 19}{- 8}

x_{1} = - 3, x_{2} = \frac{7}{4}

- 4 x^{2} - 5 x + 21 = - 4 (x + 3) (x - \frac{7}{4}) = - (x + 3) (4 x - 7)

\frac{- (x + 3) (4 x - 7)}{x} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −3 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥), 0 (выколота — точка разрыва), 7/4 (закрашена — корень числителя).

Пробная точка x = 10: −(10 + 3)(4·10 − 7)/10 = −13·33/10 < 0, значит на (7/4; +∞) знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнями числителя −3 и 7/4; точка разрыва 0 остаётся выколотой.

ответ

x \in (- \infty; - 3] \cup (0; \frac{7}{4}]