Задача 10150107 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{2} + 16 x + 39}{x^{2} + 12 x + 27} \geq \frac{x + 18}{x + 9} - \frac{6}{x + 8}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль — выписываем условия и решаем относительно x.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} + 12 x + 27 \neq 0 \\ x + 9 \neq 0 \\ x + 8 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 3 \\ x \neq - 9 \\ x \neq - 8 \end{matrix}

Корни x²+12x+27 = (x+3)(x+9) — найдём через дискриминант в шаге 2.

шаг 2.Раскладываем числитель и знаменатель

Оба квадратных трёхчлена раскладываем через дискриминант.

x^{2} + 16 x + 39 = 0

D = 16^{2} - 4 \cdot 39 = 256 - 156 = 100

x = \frac{- 16 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{- 16 \pm 10}{2} \begin{matrix} = - 3 \\ = - 13 \end{matrix}

x^{2} + 16 x + 39 = (x + 3) (x + 13)

x^{2} + 12 x + 27 = 0

D = 12^{2} - 4 \cdot 27 = 144 - 108 = 36

x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{- 12 \pm 6}{2} \begin{matrix} = - 3 \\ = - 9 \end{matrix}

x^{2} + 12 x + 27 = (x + 3) (x + 9)

шаг 3.Сокращаем общий множитель

Подставляем разложения из шага 2, общий (x + 3) сокращается.

\frac{x^{2} + 16 x + 39}{x^{2} + 12 x + 27} = \frac{(x + 3) (x + 13)}{(x + 3) (x + 9)} = \frac{x + 13}{x + 9}

\frac{x + 13}{x + 9} \geq \frac{x + 18}{x + 9} - \frac{6}{x + 8}

Сокращение (x + 3) допустимо: x = −3 уже исключено ОДЗ — корень не теряем.

шаг 4.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево (обе дроби RHS меняют знак), объединяем с общим знаменателем (x+9)(x+8) и упрощаем числитель.

\frac{x + 13}{x + 9} - \frac{x + 18}{x + 9} + \frac{6}{x + 8} \geq 0

\frac{(x + 13) - (x + 18)}{x + 9} + \frac{6}{x + 8} \geq 0

\frac{- 5}{x + 9} + \frac{6}{x + 8} \geq 0

\frac{- 5 (x + 8) + 6 (x + 9)}{(x + 9) (x + 8)} \geq 0

\frac{- 5 x - 40 + 6 x + 54}{(x + 9) (x + 8)} \geq 0

\frac{x + 14}{(x + 9) (x + 8)} \geq 0

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

−14 — корень числителя (закрашен, неравенство нестрогое); −9 и −8 — точки разрыва (выколоты, обращают знаменатель в ноль); −3 — выколота как точка ОДЗ из исходного выражения.

Пробная точка x = 0 на интервале (−8; +∞): подставляем в (x+14)/((x+9)(x+8)) и получаем (0+14)/((0+9)(0+8)) = 14/(9·8) = 14/72 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево. Пересечение с ОДЗ исключает точки −3, −8, −9 — отсюда и финальный ответ.

ответ

x \in [- 14; - 9) \cup (- 8; - 3) \cup (- 3; + \infty)

$\frac{x^{2} - 16 x + 39}{x^{2} - 12 x + 27} \leq \frac{x - 18}{x - 9} + \frac{4}{x - 8}$