Задача 10150340 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x \neq 0

шаг 2.Сведение к совокупности систем

Из-за сложности числителя решаем методом сведения к совокупности систем неравенств. Заметим, что 4 = 2².

\frac{2^{| x^{2} + 2 x - 1 |} - 4}{x} \geq 0

\frac{2^{| x^{2} + 2 x - 1 |} - 2^{2}}{x} \geq 0

\frac{N}{D} \geq 0 ⟺ [\begin{matrix} {\begin{matrix} N \geq 0 \\ D > 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} N \leq 0 \\ D < 0 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} N & = 2^{| x^{2} + 2 x - 1 |} - 2^{2} \\ D & = x \end{matrix}

шаг 3.Числитель: раскрытие модуля

Поскольку 2 > 1 — функция 2^t возрастает, при «снятии» оснований направление неравенства СОХРАНЯЕТСЯ. Для N ≥ 0 получим |…| ≥ 2. Для N ≤ 0 получим |…| ≤ 2.

Дальше модульные неравенства раскрываются по стандартным формулам — для | f | ≥ a и | f | ≤ a.

\begin{matrix} 2^{| \dots |} - 2^{2} \geq 0 \\ 2^{| \dots |} \geq 2^{2} \\ | \dots | \geq 2 \end{matrix} \begin{matrix} 2^{| \dots |} - 2^{2} \leq 0 \\ 2^{| \dots |} \leq 2^{2} \\ | \dots | \leq 2 \end{matrix}

| f | \geq a ⟺ [\begin{matrix} f \geq a \\ f \leq - a \end{matrix} | f | \leq a ⟺ {\begin{matrix} f \leq a \\ f \geq - a \end{matrix}

при a \geq 0

В нашей задаче f = x² + 2x − 1, a = 2.

шаг 4.Два случая совокупности систем

Из шага 2 неравенство распадается на 2 случая для N и D. В случае 1 (|f| ≥ 2) N даёт совокупность 2 ветвей (шаг 3); в случае 2 (|f| ≤ 2) — одну систему.

\begin{matrix} Случай 1: [\begin{matrix} {\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 1 \geq 2 \\ x > 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 1 \leq - 2 \\ x > 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ Случай 2: {\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 1 \leq 2 \\ x^{2} + 2 x - 1 \geq - 2 \\ x < 0 \end{matrix} \end{matrix}

шаг 5.Решение случая 1

Случай 1 — совокупность 2 пунктов. Пункт (1) решаем методом интервалов и пересекаем с x > 0. Пункт (2) даёт x = −1, не удовлетворяющий x > 0, — ветвь пустая.

\begin{matrix} (1) & (2) \\ {\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 1 \geq 2 \\ x > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 1 \leq - 2 \\ x > 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} (x + 3) (x - 1) \geq 0 \\ x > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} (x + 1)^{2} \leq 0 \\ x > 0 \end{matrix} \\ x \in [1; + \infty) & {\begin{matrix} x = - 1 \\ x > 0 \end{matrix} \\ ⌀ \end{matrix}

Итог случая 1: [1; + \infty)

Корни (x + 3)(x − 1): −3 и 1 — закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 0 в (x + 3)(x − 1): 3·(−1) = −3 < 0. Между корнями знак «−» — НЕ подходит. На крайних интервалах знаки «+» — это и есть решение (x + 3)(x − 1) ≥ 0: (−∞; −3] ∪ [1; +∞).

шаг 6.Решение случая 2

В среднем неравенстве распознаём квадрат разности: x² + 2x + 1 = (x + 1)². Любой квадрат ≥ 0, поэтому это условие выполнено при ЛЮБОМ x.

{\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 1 \leq 2 \\ x^{2} + 2 x - 1 \geq - 2 \\ x < 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} (x + 3) (x - 1) \leq 0 \\ {(x + 1)}^{2} \geq 0 \\ x < 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \in [- 3; 1] \\ любое x \\ x < 0 \end{matrix} ⟹ x \in [- 3; 0)

Корни (x + 3)(x − 1): −3 и 1 — закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 0 в (x + 3)(x − 1): 3·(−1) = −3 < 0. Между корнями знак «−» — совпадает с условием ≤ 0 → решение [−3; 1]. На крайних интервалах знаки чередуются: «+».

шаг 7.Объединение случаев

Случай 1 и случай 2 пришли из совокупности систем — они связаны через ИЛИ, поэтому ответы соединяем через ОБЪЕДИНЕНИЕ на финальной оси.