условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x³ − 125 по формуле разности кубов. Знаменатель не должен обращаться в ноль.
Разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) при b = 5. У трёхчлена x² + 5x + 25 отрицательный дискриминант и ветви параболы вверх, поэтому он положителен при любом x.
шаг 2.Случай 1: x > 5
Здесь |x − 5| = x − 5. После сокращения (x − 5) в первом слагаемом остаётся линейное неравенство.
Сокращение (x − 5) допустимо: в этом случае x > 5, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем. Условие x ≥ −2,5 на луче x > 5 выполнено автоматически.
шаг 3.Случай 2: x < 5
Здесь |x − 5| = 5 − x = −(x − 5). При сокращении появляется минус, и знак у скобки меняется на противоположный.
Сокращение (x − 5) допустимо: в этом случае x < 5, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.
шаг 4.Объединение случаев
Складываем результаты обоих случаев: луч влево от −2,5 и луч вправо от пятёрки.
Проверка: x = −3 ⇒ (−152)/8 − (−3) · 8 = −19 + 24 = 5 ≥ 0 ✓. Проверка: x = 6 ⇒ 91/1 − 6 · 1 = 85 ≥ 0 ✓. Проверка: x = 0 ⇒ (−125)/5 − 0 = −25 < 0 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.