условие
шаг 1.Область допустимых значений
Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль. Первый корень сворачивается в модуль: x² − 6x + 9 — полный квадрат.
√(5 − x) = 1 равносильно 5 − x = 1, то есть x = 4.
шаг 2.Выносим общий множитель
В обеих частях стоит один и тот же квадрат — обозначим его R². Переносим всё влево и выносим R² за скобку.
Квадрат R² неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно либо когда R = 0, либо когда неотрицательна вторая скобка.
шаг 3.Случай 1: R = 0
Дробь равна нулю, когда её числитель обращается в ноль.
Точка x = 4 не входит в ОДЗ (там знаменатель обращается в ноль), остаётся изолированная точка x = 2.
шаг 4.Случай 2: R ≠ 0
Здесь на R² можно поделить — знак сохраняется. Приводим оставшуюся скобку к общему знаменателю x и раскладываем числитель по теореме Виета.
Проверка по Виета: для x² − 4x + 3 сумма корней должна равняться 4, произведение — 3. У нас 1 + 3 = 4 и 1 · 3 = 3 — оба сходятся. Пробная точка x = 2 на интервале (1; 3): (2 − 1)(2 − 3)/2 = −0,5 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение случая 2: (0; 1] ∪ [3; +∞).
шаг 5.Объединение и пересечение с ОДЗ
Складываем результаты двух случаев и пересекаем с ОДЗ: правый луч обрезается пятёркой и разрывается выколотой точкой x = 4.
Точка x = 2 из первого случая лежит внутри интервала, где вторая скобка отрицательна, и попадает в ответ изолированно. Проверка: x = 2 ⇒ числитель R равен нулю, обе части равны нулю ✓. Проверка: x = 1,5 ⇒ вторая скобка равна −0,5, R ≠ 0, произведение отрицательно — точка не подходит ✓.