Задача 10150228 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{{(9 - 5 x)}^{2}}{x + 3} \geq \frac{25 x^{2} - 90 x + 81}{10 - 7 x + x^{2}}

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем правый знаменатель: 10 − 7x + x² = x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5) (Виета: произведение 10, сумма 7 → 2 и 5). Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x + 3 \neq 0 \\ (x - 2) (x - 5) \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 3 \\ x \neq 2 \\ x \neq 5 \end{matrix}

шаг 2.Сворачиваем полный квадрат

В числителе правой части — полный квадрат: 25x² − 90x + 81 = (5x)² − 2·5x·9 + 9² = (5x − 9)² (формула a² − 2ab + b² = (a − b)²). В левой части (9 − 5x)² = (5x − 9)² (квадрат не зависит от знака).

25 x^{2} - 90 x + 81 = {(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 9 + 9^{2} = {(5 x - 9)}^{2}

{(9 - 5 x)}^{2} = {(5 x - 9)}^{2}

\frac{{(5 x - 9)}^{2}}{x + 3} \geq \frac{{(5 x - 9)}^{2}}{(x - 2) (x - 5)}

шаг 3.Сводим к одной дроби

Знаменатели (x + 3) и (x − 2)(x − 5) общих множителей не имеют — общий знаменатель — произведение всех трёх: (x + 3)(x − 2)(x − 5). Выносим (5x − 9)² за скобки и раскладываем оставшийся трёхчлен по Виета.

\frac{{(5 x - 9)}^{2}}{x + 3} - \frac{{(5 x - 9)}^{2}}{(x - 2) (x - 5)} \geq 0

\frac{{(5 x - 9)}^{2} (x - 2) (x - 5) - {(5 x - 9)}^{2} (x + 3)}{(x + 3) (x - 2) (x - 5)} \geq 0

\frac{(5 x - 9)^{2} ((x - 2) (x - 5) - (x + 3))}{(x + 3) (x - 2) (x - 5)} \geq 0

\frac{{(5 x - 9)}^{2} (x^{2} - 8 x + 7)}{(x + 3) (x - 2) (x - 5)} \geq 0

\frac{{(5 x - 9)}^{2} (x - 1) (x - 7)}{(x + 3) (x - 2) (x - 5)} \geq 0

Раскрываем (x − 2)(x − 5) − (x + 3) = x² − 7x + 10 − x − 3 = x² − 8x + 7. По теореме Виета (произведение 7, сумма 8 → 1 и 7): x² − 8x + 7 = (x − 1)(x − 7).

шаг 4.Метод интервалов

Корни числителя: 9/5 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется); закрашена, в ответе появится изолированной точкой (нестрогое ≥). Корни числителя 1 и 7 — закрашены. В знаменателе: −3, 2, 5 — точки разрыва.

Пробная точка x = 10 на интервале (7; +∞): подставляем в (5x − 9)²(x − 1)(x − 7)/((x + 3)(x − 2)(x − 5)) и получаем 41²·9·3/(13·8·5) > 0, значит знак «+». Через корень числителя 9/5 чётной кратности знак не меняется (петелька); через корни −3, 1, 2, 5, 7 знаки чередуются. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» плюс изолированная точка x = 9/5.

ответ

x \in (- 3; 1] \cup {\frac{9}{5}} \cup (2; 5) \cup [7; + \infty)