Задача 10150157 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) и x² − 4x = x(x − 4).

ОДЗ

{\begin{matrix} (x - 1) (x - 3) \neq 0 \\ x (x - 4) \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 1 \\ x \neq 3 \\ x \neq 0 \\ x \neq 4 \end{matrix}

Корни x² − 4x + 3 подбираем устно по теореме Виета: ищем два числа с произведением 3 и суммой 4 — это 1 и 3, значит x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). У второго трёхчлена x² − 4x = x(x − 4) общий множитель x.

шаг 2.Делаем замену

В обоих знаменателях встречается одно и то же подвыражение x² − 4x. Положим t = x² − 4x. Тогда x² − 4x + 3 = t + 3, x² − 4x − 3 = t − 3, x² − 4x + 24 = t + 24, и неравенство переписывается в t.

t = x^{2} - 4 x

\frac{t - 3}{t + 3} + \frac{t + 24}{t} \geq 0

шаг 3.Решаем неравенство относительно t

Общий знаменатель — t(t + 3). Раскрываем числитель, приводим подобные и узнаём в нём полный квадрат.

\frac{(t - 3) \cdot t + (t + 24) (t + 3)}{t (t + 3)} \geq 0

\frac{(t^{2} - 3 t) + (t^{2} + 27 t + 72)}{t (t + 3)} \geq 0

\frac{2 t^{2} + 24 t + 72}{t (t + 3)} \geq 0

\frac{2 (t^{2} + 12 t + 36)}{t (t + 3)} \geq 0

\frac{2 (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 6 + 6^{2})}{t (t + 3)} \geq 0

\frac{2 {(t + 6)}^{2}}{t (t + 3)} \geq 0

Узнаём полный квадрат: t² + 12t + 36 = t² + 2·t·6 + 6² = (t + 6)² (формула a² + 2ab + b² = (a + b)²).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни в порядке возрастания: −6 (закрашена — корень числителя кратности 2, петелька), −3 (выколота — точка разрыва), 0 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка t = 1 на интервале (0; +∞): подставляем в 2(t + 6)² / (t(t + 3)) и получаем 2·49 / (1·4) = 49/2 > 0, значит знак «+». Корень −6 чётной кратности — знак при переходе через эту точку не меняется (петелька). Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с самой точкой t = −6: t ∈ (−∞; −3) ∪ (0; +∞).

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = x² − 4x в каждое из условий — слева ветка t < −3, справа ветка t > 0. Решение каждого квадратного неравенства показано на своей числовой прямой ниже. Снизу — объединение двух ответов в финальное множество x.

t < - 3 : x^{2} - 4 x < - 3

x^{2} - 4 x + 3 < 0

(x - 1) (x - 3) < 0

x \in (1; 3)

t > 0 : x^{2} - 4 x > 0

x (x - 4) > 0

x \in (- \infty; 0) \cup (4; + \infty)

Петелька t = −6 из шага 4 лежит внутри интервала (−∞; −3) — никакого отдельного «корня от петельки» в x-ответ не приходит.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Решаем неравенство относительно t

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ