шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель первой дроби 25x² − 10x − 8 не должен обращаться в ноль. Корни находим через дискриминант.

шаг 2.Делаем замену

Положим t = 25x² − 10x − 8 — это подвыражение в обоих слагаемых. После замены неравенство приобретает симметричный вид «t плюс обратное к t».

ОДЗ в новой переменной: t ≠ 0 (соответствует исходному условию 25x² − 10x − 8 ≠ 0).

шаг 3.Решаем неравенство относительно t

Сводим скобку к одной дроби, домножаем на 4t² > 0 (знак сохраняется), переносим всё влево и применяем формулу разности квадратов.

Домножение на 4t² допустимо: t = 0 уже исключено ОДЗ — корень не теряем, знак неравенства сохраняется (4t² > 0). Полные квадраты узнаём по формуле a² ± 2ab + b² = (a ± b)²: t² − 4t + 4 = (t − 2)², t² + 4t + 4 = (t + 2)².

шаг 4.Анализ и обратная замена

Произведение двух квадратов (t − 2)²(t + 2)² ≥ 0 при любом t — неравенство выполняется тождественно. Решение в t — всё множество ОДЗ (t ≠ 0). Возвращаемся к x: единственное ограничение — корни 25x² − 10x − 8 = 0, то есть x = −2/5 и x = 4/5.

Все три корня (t − 2)², (t + 2)², 4t² — чётной кратности; знак числителя и знаменателя одинаков на любом интервале, дробь нигде не меняет знак с «+» на «−». Поэтому решением неравенства ≥ 0 будут все x из ОДЗ, без дополнительных ограничений.