Задача 10150147 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1}{5 x - 12} + \frac{2 x^{2} - 6 x + 1}{x - 3} \geq 2 x

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели 5x − 12 и x − 3 не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 5 x - 12 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 2,4 \\ x \neq 3 \end{matrix}

шаг 2.Приводим к общему знаменателю

Переносим 2x в левую часть и сводим всё к одной дроби со знаменателем (5x − 12)(x − 3). У двух последних слагаемых числителя общий множитель (5x − 12) — выносим его, и квадратичные части в скобке взаимно уничтожаются.

\frac{1}{5 x - 12} + \frac{2 x^{2} - 6 x + 1}{x - 3} - 2 x \geq 0

\frac{(x - 3) + (2 x^{2} - 6 x + 1) (5 x - 12) - 2 x (5 x - 12) (x - 3)}{(5 x - 12) (x - 3)} \geq 0

\frac{(x - 3) + (5 x - 12) ((2 x^{2} - 6 x + 1) - 2 x (x - 3))}{(5 x - 12) (x - 3)} \geq 0

\frac{(x - 3) + (5 x - 12) (2 x^{2} - 6 x + 1 - 2 x^{2} + 6 x)}{(5 x - 12) (x - 3)} \geq 0

\frac{(x - 3) + (5 x - 12) \cdot 1}{(5 x - 12) (x - 3)} \geq 0

\frac{6 x - 15}{(5 x - 12) (x - 3)} \geq 0

шаг 3.Метод интервалов

Корень числителя 6x − 15: x = 15/6 = 2,5. Корни в порядке возрастания: 2,4 (выколота — точка разрыва), 2,5 (закрашена — корень числителя), 3 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 2,4): подставляем в (6x − 15) / ((5x − 12)(x − 3)) и получаем (−15) / ((−12)·(−3)) = −15/36 < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются вправо. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+»: (2,4; 2,5] ∪ (3; +∞).

ответ

x \in (2,4; 2,5] \cup (3; + \infty)