Задача 10150187 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} - 3 x} \leq x + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² − 3x = x(x − 3). Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

{\begin{matrix} x (x - 3) \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 3 \\ x \neq 2 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x − 3)(x − 2). Первое слагаемое домножаем на (x − 2), второе (−x) — на x(x − 3)(x − 2), третье (−1/(x − 2)) — на x(x − 3), четвёртое (−1/x) — на (x − 3)(x − 2).

\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3}{x (x - 3)} - x - \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x} \leq 0

\frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3) (x - 2)}{x (x - 3) (x - 2)} - \frac{x^{2} (x - 3) (x - 2)}{x (x - 3) (x - 2)} -

- \frac{x (x - 3)}{x (x - 3) (x - 2)} - \frac{(x - 3) (x - 2)}{x (x - 3) (x - 2)} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Собираем числитель в одну дробь, раскрываем каждое произведение и приводим подобные. Старшие степени x⁴ и x³ взаимно уничтожаются, линейные слагаемые — тоже.

(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3) (x - 2) - x^{2} (x - 3) (x - 2) - x (x - 3) -

- (x - 3) (x - 2) = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 6 x - 3 x + 6 -

- x^{4} + 5 x^{3} - 6 x^{2} - x^{2} + 3 x - x^{2} + 5 x - 6 = x^{2} - x = x (x - 1)

\frac{x (x - 1)}{x (x - 3) (x - 2)} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: 0 (выколота — корень четной кратности → петелька, знак не меняется), 1 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 2 (выколота — точка разрыва), 3 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка x = 10: 10·9/(10·8·7) = 9/56 > 0, значит на (3; +∞) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево; через x = 0 (общий ноль числителя и знаменателя) знак НЕ меняется — петелька. Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнем числителя 1; точки 0, 2, 3 остаются выколотыми.

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; 1] \cup (2; 3)