шаг 1.Сворачиваем первый корень

x² − 2x + 1 = (x − 1)², значит √(x² − 2x + 1) = |x − 1|.

шаг 2.Область допустимых значений

Второе подкоренное неотрицательно, знаменатель не должен обращаться в ноль.

шаг 3.Рационализация числителя

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение |x − 1| + √(x² + x).

Знаменатель сопряжения |x − 1| + √(x² + x) ≥ 0 на ОДЗ; обращается в ноль только когда оба слагаемых = 0, т.е. x = 1 и x²+x = 0 одновременно — невозможно. Значит сопрягающий знаменатель строго > 0 на ОДЗ.

шаг 4.Сокращение положительного множителя

Делим на (|x − 1| + √(x² + x)) > 0 — направление неравенства сохраняется. Остаётся:

шаг 5.Метод интервалов

Корни (1 − 3x): x = 1/3 (закрашена). Корни (x² + x − 1): (−1 ± √5)/2 (выколоты — ОДЗ).

Численно: (−1 − √5)/2 ≈ −1,618; (−1 + √5)/2 ≈ 0,618. (1 − 3x) ≥ 0 ⟺ x ≤ 1/3. (x² + x − 1) > 0 ⟺ x < (−1 − √5)/2 или x > (−1 + √5)/2. Для (1 − 3x)/(x² + x − 1) ≤ 0: — num ≥ 0 ∧ denom < 0 (x ≤ 1/3 ∧ (−1 − √5)/2 < x < (−1 + √5)/2): пересечение даёт ((−1 − √5)/2; 1/3]. Пересекаем с ОДЗ → ((−1 − √5)/2; −1] ∪ [0; 1/3]. — num ≤ 0 ∧ denom > 0 (x ≥ 1/3 ∧ (x < (−1 − √5)/2 или x > (−1 + √5)/2)): даёт x ≥ (−1 + √5)/2. Пересекаем с ОДЗ → ((−1 + √5)/2; +∞).