Задача 10150171 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{{(x - 1)}^{2} + 4 {(x + 1)}^{2}}{2} \leq \frac{{(3 x + 1)}^{2}}{4}

шаг 1.Раскрываем квадраты

Знаменатели обеих частей — числовые константы (2 и 4), ОДЗ — все действительные x.

{(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1

{(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1

4 {(x + 1)}^{2} = 4 x^{2} + 8 x + 4

{(3 x + 1)}^{2} = {(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 1 + 1^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1

{(x - 1)}^{2} + 4 {(x + 1)}^{2} =

= (x^{2} - 2 x + 1) + (4 x^{2} + 8 x + 4) =

= 5 x^{2} + 6 x + 5

Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².

шаг 2.Приводим к виду полного квадрата

Подставляем найденные выражения и умножаем обе части на 4 (положительная константа, направление неравенства сохраняется), чтобы избавиться от дробных знаменателей.

\frac{5 x^{2} + 6 x + 5}{2} \leq \frac{9 x^{2} + 6 x + 1}{4}

2 (5 x^{2} + 6 x + 5) \leq 9 x^{2} + 6 x + 1

10 x^{2} + 12 x + 10 \leq 9 x^{2} + 6 x + 1

x^{2} + 6 x + 9 \leq 0

При переносе налево по степеням: x² (10 − 9 = 1), x (12 − 6 = 6), свободный (10 − 1 = 9). Получаем x² + 6x + 9.

шаг 3.Решаем (x + 3)² ≤ 0

Узнаём полный квадрат: x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)² (формула a² + 2ab + b² = (a + b)²). Квадрат любого выражения ≥ 0, поэтому (x + 3)² ≤ 0 возможно только при равенстве: x + 3 = 0.

x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = {(x + 3)}^{2}

{(x + 3)}^{2} \leq 0

{(x + 3)}^{2} = 0

x + 3 = 0

x = - 3

Проверка: (−3 + 3)² = 0 — равенство выполнено, нестрогое ≤ 0 удовлетворяется. Это единственная точка решения; для любого другого x неравенство нарушается ((x + 3)² > 0).

ответ

x = - 3

$\frac{{(x + 1)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{2}}{2} \leq \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{4}$