Глава 4. Логарифмы в сложных конструкциях

убрать аналоги

\frac{1 - \sqrt{1 - 4 \log_{8}^{2} x}}{\log_{8} x} < 2

4-1-koren-nad-log

Корень над логарифмическим выражением

Признак. Под знаком корня стоит выражение с логарифмом: √(1−log²x), √(1−logₐf(x)).

Решение. ОДЗ логарифма и неотрицательность подкоренного; замена t=logₐx; возведение в квадрат с контролем знака правой части; возврат к x.

1104 1105 1110 1122 1134 1136 1141 1153 1156 1160

\log_{\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 6}} (\frac{x}{3}) > 0

4-1-log-ot-kornya

Логарифм от иррационального выражения

Признак. Корень стоит внутри логарифма — в аргументе или в основании.

Решение. ОДЗ корня и логарифма вместе; снять логарифм по монотонности; решить иррациональное неравенство (уединить корень, возвести в квадрат).

1103 1140 1143 1147 1163 1167

\sqrt{2 - \log_{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{(x - 1) (x + 7)}{x + 2} \geq 0

4-1-koren-mnozhitel

Корень и логарифм как множители

Признак. Корень и логарифм — отдельные множители произведения или части дроби, сравниваемой с нулём.

Решение. ОДЗ каждого множителя; знак корня и знак логарифма по отдельности; метод интервалов по множителям.

1146 1161

\lg^{4} x - 4 \lg^{3} x + 5 \lg^{2} x - 2 \lg x \geq 0

4-2-mnogochlen-po-log

Многочлен степени 3–4 относительно логарифма

Признак. Логарифм в третьей или четвёртой степени, либо квадрат скобки, внутри которой квадрат логарифма.

Решение. Замена t=logₐx; разложить многочлен по t на множители (группировка, подбор корня); метод интервалов по t; обратная замена.

1114 1115 1116 1159 1121 1123 1138 1158

x^{2} \log_{243} (4 - x) \leq \log_{3} (x^{2} - 8 x + 16)

4-2-gruppirovka-mnozhiteley

Логарифм умножен на многочлен: группировка

Признак. Логарифм стоит множителем при x или x², в обеих частях есть подобные слагаемые с логарифмом.

Решение. Свернуть логарифмы по свойствам; перенести всё в одну часть и вынести общий множитель; метод интервалов по множителям с учётом ОДЗ.

1106 1107 1108 1111 1112 1125 1126 1127 1128 1132 1129 1130 1131 1133 1135 1139 1152

\frac{\log_{4} (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}) + \log_{0,25} (6 x^{2} - 12 x - 9)}{x^{2} - 2 x - 8} \geq 0

4-2-svoystva-i-odz

Свойства логарифмов и ОДЗ

Признак. Сумма или разность логарифмов разных оснований, логарифм от логарифма, дробь с логарифмом в числителе.

Решение. Записать ОДЗ; свернуть по свойствам логарифма к одному основанию; снять логарифм по монотонности; метод интервалов.

1101 1102 1109 1113 1117 1118 1119 1120 1124 1137 1142 1151 1165 1144 1145 1148 1149 1150 1154 1155 1157 1162 1164 1166 1168

\log_{x^{2} + x} (x^{2} - 2 x + 1) \leq 1

4-3-sravnenie-s-chislom

Сравнение с числом: разбор случаев основания

Признак. Один логарифм с переменным основанием сравнивается с числом: log_{f(x)}g(x) ⋛ c.

Решение. ОДЗ (f>0, f≠1, g>0); два случая — f>1 (знак сохраняется) и 0<f<1 (знак переворачивается); объединить решения.

1301 1378 1310 1311 1314 1349 1315 1318 1351 1319 1323 1332 1333 1355 1356 1363 1364 1365 1366 1367 1368 1371 1373 1376 1377 1379 1384 1385 1387 1390 1394 1395

\log_{4 - x} (x + 4) \cdot \log_{x + 5} (6 - x) \leq 0

4-3-proizvedenie-i-drob

Произведение и дробь логарифмов

Признак. Два и более логарифма перемножаются либо стоят в числителе и знаменателе дроби.

Решение. ОДЗ всех логарифмов; знак каждого множителя через сравнение основания и аргумента с единицей; метод интервалов по множителям.

0570 1302 1303 1304 1305 1306 1307 1308 1312 1337 1313 1320 1321 1352 1322 1328 1329 1330 1357 1331 1334 1335 1338 1341 1345 1347 1348 1354 1358 1359 1360 1369 1370 1374 1380 1381 1382 1383 1386 1388 1389 1391 1393 1396 1397 1398 1399

\log_{x} 3 + 2 \log_{3 x} 3 - 6 \log_{9 x} 3 \leq 0

4-3-zamena-i-perehod

Переход к одному основанию и замена

Признак. Логарифмы с разными переменными основаниями, взаимно-обратные пары log_a b и log_b a.

Решение. Формула перехода к одному основанию; замена t=log(...); решить рациональное неравенство по t; обратная замена с учётом ОДЗ.

1309 1316 1317 1350 1324 1325 1326 1353 1327 1336 1339 1340 1342 1343 1344 1346 1361 1362 1372 1375 1392

4-1Логарифмически-иррациональные неравенства