условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы обоих логарифмов положительны, подкоренное выражение слева неотрицательно.
Второй логарифм требует √(x²) > 0, то есть x ≠ 0. Оба первых условия поглощаются более сильным x ≤ −1.
шаг 2.Упрощаем правую часть
Корень из квадрата равен модулю, а на ОДЗ переменная отрицательна, поэтому |x| = −x. Оба логарифма оказываются одинаковыми.
Формула √(a²) = |a|. Минус перед x берётся из ОДЗ: при x ≤ −1 модуль раскрывается со сменой знака.
шаг 3.Делаем замену
Логарифм log₂(−x) встречается дважды — обозначим его буквой t. Из ОДЗ следует t ≥ 0.
шаг 4.Решаем неравенство в t
Левая часть неотрицательна, поэтому правая обязана быть строго положительной. При t > 3 обе части положительны, и возведение в квадрат равносильно.
По теореме Виета для t² − 10t + 9 сумма корней должна равняться 10, произведение — 9. Подбираем 1 и 9 — оба сходятся. Пробная точка t = 0: (0 − 1)(0 − 9) = (−1)·(−9) = 9 > 0 — знак «+» на левом интервале, чередование «+, −, +». Обе точки выколоты (строгое >). Условие t > 3 целиком отсекает интервал (−∞; 1); условие ОДЗ t ≥ 0 после этого выполняется автоматически.
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
2⁹ = 512. При умножении неравенства −x > 512 на −1 знак переворачивается: x < −512. Вся полупрямая лежит в ОДЗ x ≤ −1, поэтому ничего не отсекается.