Задача 10151369 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{3} (x - 1) \cdot \log_{3} (3^{x + 1} + 3) \cdot \log_{x - 1} (3^{x} + 1) \geq 6

Основания логарифмов положительны и не равны единице, аргументы положительны.

ОДЗ

x - 1 > 0 и x - 1 \neq 1 ⟺ x > 1, x \neq 2

3^{x + 1} + 3 > 0 и 3^{x} + 1 > 0 — всегда

Основание x − 1 даёт x > 1 и x ≠ 2. Аргументы 3^{x+1} + 3 и 3ˣ + 1 положительны при любом x.

Произведение log_3(x − 1) · log_{x−1}(3ˣ + 1) сворачивается по формуле перехода в log_3(3ˣ + 1). Множитель 3^{x+1} + 3 = 3(3ˣ + 1).

\log_{3} (x - 1) \cdot \log_{x - 1} (3^{x} + 1) = \log_{3} (3^{x} + 1)

\log_{3} (3^{x + 1} + 3) = \log_{3} (3 (3^{x} + 1)) = 1 + \log_{3} (3^{x} + 1)

Формула перехода: log_3 a · log_a b = log_3 b. Вынесли множитель 3 из второго аргумента и применили log_3(3·c) = 1 + log_3 c.

Так как 3ˣ + 1 > 1, имеем t > 0. Неравенство становится квадратным.

t = \log_{3} (3^{x} + 1), t > 0

t \cdot (1 + t) \geq 6 ⟺ t^{2} + t - 6 \geq 0

(t + 3) (t - 2) \geq 0

Подставили t в произведение log_3(3ˣ + 1) · (1 + log_3(3ˣ + 1)). Разложили t² + t − 6 = (t + 3)(t − 2).

С учётом t > 0 отрицательный корень не подходит, остаётся t ≥ 2.

Парабола (t + 3)(t − 2) ветвями вверх, неотрицательна при t ≤ −3 или t ≥ 2. Условие замены t > 0 оставляет только t ≥ 2.

Из t ≥ 2 получаем log_3(3ˣ + 1) ≥ 2, то есть 3ˣ + 1 ≥ 9. Учитываем ОДЗ x ≠ 2.

\log_{3} (3^{x} + 1) \geq 2 ⟺ 3^{x} + 1 \geq 9

3^{x} \geq 8 ⟺ x \geq \log_{3} 8

log_3 8 = 3 log_3 2 ≈ 1,89 < 2, поэтому точка x = 2 (выколота по ОДЗ) попадает внутрь решения и её исключаем.

x \in [\log_{3} 8; 2) \cup (2; + \infty)