Задача 10151310 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x^{2} + x} (x^{2} - 2 x + 1) \leq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Основание x² + x положительно и не равно единице, аргумент (x − 1)² положителен. Основание зануляется при x = 0 и x = −1, равно единице при x = (−1 ± √5)/2, а аргумент — при x = 1.

ОДЗ

x^{2} + x > 0 ⟺ x < - 1 или x > 0

x^{2} + x \neq 1 ⟺ x \neq \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}

{(x - 1)}^{2} > 0 ⟺ x \neq 1

x² + x = x(x + 1) > 0 на (−∞; −1) ∪ (0; +∞). Корни x² + x − 1 = 0 дают выколотые точки основания. Аргумент (x − 1)² > 0 убирает x = 1.

шаг 2.Переносим единицу и рационализируем

Записываем 1 = log_{x²+x}(x² + x) и переносим в один логарифм. По методу рационализации знак разности логарифмов совпадает со знаком ((x² + x) − 1)·((x − 1)² − (x² + x)).

\log_{x^{2} + x} ({(x - 1)}^{2}) - \log_{x^{2} + x} (x^{2} + x) \leq 0

(x^{2} + x - 1) ((x - 1)^{2} - (x^{2} + x)) \leq 0

шаг 3.Упрощаем второй множитель

Раскрываем (x − 1)² − (x² + x) = x² − 2x + 1 − x² − x = 1 − 3x. Выносим знак минус и переворачиваем неравенство.

(x^{2} + x - 1) (1 - 3 x) \leq 0

- (x^{2} + x - 1) (3 x - 1) \leq 0

(x^{2} + x - 1) (3 x - 1) \geq 0

Корни x² + x − 1 = 0 равны (−1 ± √5)/2 ≈ −1,62 и 0,62; корень 3x − 1 = 0 равен 1/3.

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Все три корня простые: (−1 − √5)/2, затем 1/3, затем (−1 + √5)/2. Произведение не отрицательно на [(−1 − √5)/2; 1/3] и [(−1 + √5)/2; +∞). Пересекаем с ОДЗ (−∞; −1) ∪ (0; +∞), выкалывая точки (−1 ± √5)/2 (основание равно 1) и x = 1.

На ((−1 − √5)/2; −1) и (0; 1/3] произведение ≥ 0 и точки в ОДЗ. На ((−1 + √5)/2; 1) ∪ (1; +∞) — тоже, кроме выколотой x = 1. Точка x = 1/3 (основание 4/9, аргумент 4/9) входит: log = 1.

ответ

x \in (\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}; - 1) \cup (0; \frac{1}{3}] \cup (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}; 1) \cup (1; + \infty)

$\log_{x^{2} - x} (x^{2} + 4 x + 4) \geq 1$