Задача 10151103 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 6}} (\frac{x}{3}) > 0

шаг 1.Метод рационализации

Основание логарифма содержит переменную, поэтому его положение относительно единицы заранее неизвестно. Записываем правую часть как логарифм того же основания и применяем метод рационализации: разность logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе.

\log_{\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 6}} \frac{x}{3} > \log_{\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 6}} 1

⟺ {\begin{matrix} (\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 6} - 1) (\frac{x}{3} - 1) > 0 & 1 \\ 2 x^{2} - 7 x + 6 > 0 & 2 \\ 2 x^{2} - 7 x + 6 \neq 1 & 3 \\ \frac{x}{3} > 0 & 4 \end{matrix}

Ограничения ②, ③ и ④ — это ОДЗ: подкоренное выражение положительно (иначе основание не определено или равно нулю), само основание не равно единице, аргумент логарифма положителен. Дальше решаем ①, ②, ③ и ④ по очереди, в конце берём пересечение.

шаг 2.Неравенство ①

Упрощаем ①. Разность корней √f − √g имеет тот же знак, что разность подкоренных выражений f − g, поэтому первую скобку заменяем на (2x² − 7x + 6) − 1. Вторую домножаем на 3 > 0 — знак неравенства сохраняется. Трёхчлен раскладываем через дискриминант.

1 (\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 6} - \sqrt{1}) (\frac{x}{3} - 1) > 0

((2 x^{2} - 7 x + 6) - 1) \cdot \frac{x - 3}{3} > 0 | \cdot 3

(2 x^{2} - 7 x + 5) (x - 3) > 0

2 x^{2} - 7 x + 5 = 0

D = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9

x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{7 \pm 3}{4} \begin{matrix} = 2,5 \\ = 1 \end{matrix}

2 x^{2} - 7 x + 5 = 2 (x - 1) (x - 2,5)

2 (x - 1) (x - 2,5) (x - 3) > 0

Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 1): 2(0 − 1)(0 − 2,5)(0 − 3) = 2 · (−1) · (−2,5) · (−3) = −15 < 0 — знак «−», через нечётные корни знаки чередуются. Все три корня выколоты (строгое >). Решение ①: (1; 2,5) ∪ (3; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — подкоренное выражение основания строго положительно. Раскладываем трёхчлен через дискриминант.

2 2 x^{2} - 7 x + 6 > 0

D = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1

x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{7 \pm 1}{4} \begin{matrix} = 2 \\ = 1,5 \end{matrix}

2 (x - 1,5) (x - 2) > 0

Корни 1,5 и 2 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх, поэтому 2x² − 7x + 6 > 0 вне корней. Решение ②: (−∞; 1,5) ∪ (2; +∞).

шаг 4.Ограничения ③ и ④

Условие ③ — основание не равно единице; условие ④ — аргумент логарифма положителен.

3 2 x^{2} - 7 x + 6 \neq 1

2 x^{2} - 7 x + 5 \neq 0

2 (x - 1) (x - 2,5) \neq 0 ⟺ {\begin{matrix} x \neq 1 \\ x \neq 2,5 \end{matrix}

4 \frac{x}{3} > 0

x > 0

Трёхчлен 2x² − 7x + 5 уже разложен в шаге 2, его корни 1 и 2,5 — это и есть точки, в которых основание обращается в единицу. Решение ③: x ≠ 1 и x ≠ 2,5. Решение ④: x > 0.

шаг 5.Пересечение

Сводим четыре оси в одну — берём пересечение решений ①, ②, ③ и ④.

Условие ③ ничего нового не отсекает: точки 1 и 2,5 уже выколоты строгим неравенством ①. Условие ④ отбрасывает всё левее нуля, а условие ② вырезает из интервала (1; 2,5) промежуток [1,5; 2].

ответ

x \in (1; 1,5) \cup (2; 2,5) \cup (3; + \infty)