условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Слева это 5 − x, справа — полный квадрат, который положителен при всех x, кроме одной точки.
Квадрат (x − 5)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = 5, поэтому (x − 5)² > 0 равносильно x ≠ 5. Условие x < 5 строже: оно уже исключает точку x = 5.
шаг 2.Приводим оба логарифма к основанию 7
Основание 343 — это 7³, поэтому левый логарифм переводим в основание 7 по формуле перехода. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: показатель степени выносится вперёд только вместе с модулем, и уже потом модуль раскрывается по ОДЗ.
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь c = 7 и log₇343 = 3. Выносить показатель степени без модуля нельзя: log₇(x − 5)² = 2log₇|x − 5|. На ОДЗ x < 5, поэтому |x − 5| = 5 − x.
шаг 3.Выносим общий множитель
Теперь в обеих частях стоит один и тот же логарифм. Переносим правую часть влево и выносим log₇(5 − x) за скобку. Затем умножаем неравенство на 3 — число положительное, знак сохраняется.
Множитель log₇(5 − x) обращается в ноль при 5 − x = 1, то есть при x = 4. Множитель x² − 6 обращается в ноль при x = ±√6.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение должно быть неположительным. Нули множителей: x = −√6 и x = √6 (из x² − 6), x = 4 (здесь log₇(5 − x) = 0) — все закрашены, неравенство нестрогое. Все три нуля лежат в ОДЗ x < 5. Правая граница ОДЗ x = 5 выколота: правее логарифм не определён.
Пробная точка x = 0 из интервала (−√6; √6): log₇(5 − 0)·(0² − 6) = log₇5·(−6). Здесь log₇5 > 0, значит произведение отрицательно — знак «−», условие ≤ 0 выполнено. Все нули нечётной кратности, поэтому через каждый из них знак меняется. Проверка крайнего правого интервала (4; 5) в точке x = 4,5: log₇0,5 < 0 и 4,5² − 6 > 0, произведение снова «−».