условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание степени положительно при любом x, но не должно равняться единице. Аргумент — степень пятёрки, он положителен всегда; нужно лишь, чтобы был определён его показатель. Знаменатель правой части в ноль не обращается.
Степень положительного числа равна единице только при нулевом показателе, поэтому x + 1/3 ≠ 0. Показатель 4 : (x² + 3x) определён, когда x² + 3x ≠ 0. Итог ОДЗ: x ≠ −3, x ≠ −1/3, x ≠ 0.
шаг 2.Переходим к основанию 5
И основание, и аргумент — степени пятёрки. Корень записываем как степень с показателем 1/2, приводим основание к виду «пятёрка в степени» и берём логарифм: он равен отношению показателей.
Правило: log_{aᵖ}(a^q) = q : p при a > 0, a ≠ 1, p ≠ 0. Здесь p = (3x + 1) : 6 и q = 4 : (x² + 3x); деление на дробь — умножение на обратную.
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю x(x + 3)(3x + 1).
Вторую дробь домножаем на x(x + 3) — тогда у обеих дробей общий знаменатель x(x + 3)(3x + 1). Проверка по Виета: для x² + 3x − 4 сумма корней должна равняться −3, произведение — −4. У нас −4 + 1 = −3 и (−4)·1 = −4 — оба сходятся. Множитель −6 оставляем в числителе и на −6 неравенство не делим: знак определит пробная точка.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: −4 и 1 — закрашены (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: −3, −1/3 и 0 — выколоты, это ровно ограничения ОДЗ. Все корни простые, знаки чередуются.
Пробная точка x = 2: −6·(2 + 4)(2 − 1) : (2 · 5 · 7) = −36 : 70 < 0 → на интервале (1; +∞) знак «−». Все выколотые точки — это ограничения ОДЗ, поэтому отдельного пересечения с ОДЗ не требуется. Решение: −4 ≤ x < −3, или −1/3 < x < 0, или x ≥ 1.