условие

(log0,22⁡(x+2)−log5⁡(x2+4x+4)+1)⋅log5⁡(x+1)≤0

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы всех трёх логарифмов положительны. Аргумент второго — полный квадрат (x + 2)².

ОДЗ
{x+2>0x2+4x+4>0x+1>0⟺{x>−2(x+2)2>0x>−1⟺
{x>−2x≠−2x>−1⟺x>−1

Чётная степень (x + 2)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x + 2 = 0, поэтому (x + 2)² > 0 равносильно x ≠ −2. Самое сильное из трёх условий — x > −1, оно и задаёт ОДЗ.

шаг 2.Приводим первый множитель к основанию 5

Основание 0,2 — это 5⁻¹, поэтому log₀,₂(x + 2) = −log₅(x + 2), а возведение в квадрат минус убирает. Во втором логарифме выносим чётную степеньПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
: на ОДЗ x + 2 > 0, поэтому модуль не нужен.
0,2=15=5−1
log0,2⁡(x+2)=log5⁡(x+2)log5⁡5−1=−log5⁡(x+2)
log0,22⁡(x+2)=(−log5⁡(x+2))2=log52⁡(x+2)
x2+4x+4=(x+2)2
log5⁡(x2+4x+4)=log5⁡(x+2)2=2log5⁡(x+2)

Формула перехода к новому основанию: log_a b = log_c b : log_c a. log₅5⁻¹ = −1, поэтому дробь даёт ровно −log₅(x + 2), а после возведения в квадрат знак пропадает.

шаг 3.Сворачиваем скобку в полный квадрат

Обозначим t = log₅(x + 2). Скобка превращается в квадрат разности.

t=log5⁡(x+2)
t2−2t+1=(t−1)2
(log5⁡(x+2)−1)2⋅log5⁡(x+1)≤0

Квадрат разности: t² − 2t + 1 = (t − 1)².

шаг 4.Разбираем произведение

Первый множитель — полный квадрат, он неотрицателен при любом x. Значит произведение не положительно в двух случаях: либо квадрат равен нулю, либо второй множитель не положителен.

(log5⁡(x+2)−1)2≥0
1)(log5⁡(x+2)−1)2=0
2)log5⁡(x+1)≤0

В случае 1 всё произведение обращается в ноль — нестрогое неравенство выполнено.

шаг 5.Случай 1: квадрат равен нулю

Квадрат обращается в ноль вместе со своим основанием.

log5⁡(x+2)−1=0
log5⁡(x+2)=1
log5⁡(x+2)=log5⁡5
x+2=5⟺x=3

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: сначала записываем свободный член как log₅5, затем снимаем логарифмы. Точка x = 3 входит в ОДЗ (3 > −1) — это изолированная точка ответа.

шаг 6.Случай 2: второй множитель не положителен

Записываем ноль как log₅1 и снимаем логарифмы. Основание 5 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
 — знак неравенства сохраняется.
log5⁡(x+1)≤0
log5⁡(x+1)≤log5⁡1
x+1≤1⟺x≤0
вместе с ОДЗ x>−1:
−1<x≤0

Снизу интервал обрезает ОДЗ: при x = −1 аргумент x + 1 обращается в ноль, и логарифм не определён.

шаг 7.Объединяем случаи

Ответ — интервал из случая 2 вместе с изолированной точкой из случая 1.

ответ1−03
−∞
+∞
x

Точка x = −1 выколота по ОДЗ; x = 0 закрашена (нестрогое ≤); x = 3 — изолированная точка из случая 1.

ответ

x∈(−1;0]∪{3}
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -