шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма положительно и не равно единице, аргумент положителен. Знаменатель аргумента не равен нулю.

Разность |x + 3| − |x| положительна при x > −3/2, знаменатель 2 − x — при x < 2. На (−3/2; 2) аргумент положителен. В этой области x + 3 > 0, поэтому |x + 3| = x + 3.

шаг 2.Метод рационализации

На ОДЗ |x + 3| = x + 3. Осталось раскрыть модуль |x| отдельно при x < 0 и при x > 0.

шаг 3.Случай −3/2 < x < 0

Здесь |x| = −x, основание |x| − 1 = −(x + 1). Разность аргументов приводим к общему знаменателю и сокращаем на 2 − x > 0. Получаем рациональное неравенство.

Множитель (2 − x) > 0 сократили, знак при этом не меняется. Корни x² − 4x − 3 = 0 равны 2 ± √7; в полосе (−3/2; 0) лежит только 2 − √7 ≈ −0,65. Пробная точка x = −0,9: (−0,9 + 1)(0,81 + 3,6 − 3) > 0 ✓. С учётом полосы получаем −1 < x < 2 − √7.

шаг 4.Случай 0 < x < 2

Здесь |x| = x, основание |x| − 1 = x − 1. Числитель x² − 2x + 3 положителен всегда (дискриминант отрицателен), знаменатель 2 − x > 0, поэтому знак произведения задаёт множитель x − 1.

x² − 2x + 3 > 0 и 2 − x > 0 на (0; 2), поэтому неравенство равносильно x − 1 > 0. С учётом полосы (0; 2) получаем 1 < x < 2.

шаг 5.Объединяем случаи

Решения двух случаев объединяем. Получаем два промежутка.

Точка x = 2 − √7 выколота: там аргумент равен основанию, левая часть равна 1, а неравенство строгое. Точки x = −1, x = 1 выколоты по ОДЗ, x = 2 — нуль знаменателя аргумента.