условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба основания логарифмов положительны и не равны единице; аргумент 5 положителен сам по себе.
Дробь x/(x − 1) положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Пересечение условий «x < 0 или x > 1» и «x > 0, x ≠ 2» оставляет x > 1, x ≠ 2.
шаг 2.Переходим к обратным величинам
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
При x > 1 дробь 1/(x − 1) положительна, поэтому x/(x − 1) > 1. Знак второго основания x/2 зависит от x: при 1 < x < 2 оно меньше единицы, при x > 2 — больше. Отсюда два случая.
шаг 3.Случай 1: 1 < x < 2
Здесь второе основание x/2 лежит между нулём и единицей, поэтому его логарифм отрицателен, и вся правая часть отрицательна. Левая часть положительна — неравенство не выполняется.
Положительное число не может быть меньше отрицательного, поэтому на интервале (1; 2) решений нет. Точка x = 2 исключена ОДЗ.
шаг 4.Случай 2: x > 2
Здесь оба основания больше единицы, поэтому оба логарифма положительны. Для положительных A и B неравенство 1/A ≤ 1/B равносильно B ≤ A — домножаем на AB > 0.
Основание 5 > 1, логарифм возрастает — снимаем его, сохраняя знак неравенства.
шаг 5.Приводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю, затем раскладываем числитель на множители.
x(x − 1) − 2x = x² − x − 2x = x² − 3x = x(x − 3).
шаг 6.Метод интервалов и пересечение с условием случая
Корни числителя: 0 и 3 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя: 1 — выколота. Полученное множество пересекаем с условием случая 2.
Пробная точка x = 4: 4·(4 − 3) : (2·(4 − 1)) = 4 : 6 > 0 → на интервале (3; +∞) знак «+». Знаки чередуются, решение неравенства: x ≤ 0 или 1 < x ≤ 3. Случай 1 решений не дал, поэтому ответ — пересечение с условием x > 2.