условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён только при положительном аргументе.
ОДЗ
шаг 2.Двойная замена
Обозначим t = log₂x. В правой части собираем общий множитель: 11t² − 22t = 11(t² − 2t). Тогда удобна вторая замена y = t² − 2t — она встречается и слева, и справа.
Корни y² − 11y + 24 по теореме Виета: сумма 11, произведение 24 → y = 3 и y = 8. Парабола ветвями вверх отрицательна между корнями: 3 < y < 8.
шаг 3.Возвращаемся к t
Неравенство 3 < y < 8 — это система двух неравенств для t² − 2t. Решаем каждое через разложение на множители.
Пересечение двух условий: (t < −1 или t > 3) и (−2 < t < 4) даёт −2 < t < −1 или 3 < t < 4.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем t = log₂x в полученные промежутки −2 < t < −1 и 3 < t < 4. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— границы записываем как log₂ степеней двойки и сравниваем аргументы.−2 = log₂(1/4), −1 = log₂(1/2), 3 = log₂8, 4 = log₂16. Все границы выколоты — неравенство строгое. Обе ветви лежат в ОДЗ x > 0.