условие

log0,25(x+1)2⁡(x+74)≤1

шаг 1.Область допустимых значений

Основание 0,25(x + 1)² положительно и не равно единице, аргумент положителен. Удобно сразу записать основание одной дробью: 0,25(x + 1)² = (x + 1)²/4.

ОДЗ
{0,25(x+1)2>00,25(x+1)2≠1x+74>0⟺{x≠−1(x+1)2≠4x>−7
  • основание = 1:(x+1)2=4⟺
    • x+1=2⟺x=1
    • x+1=−2⟺x=−3

Чётная степень (x + 1)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x + 1 = 0, поэтому 0,25(x + 1)² > 0 равносильно x ≠ −1. Итог ОДЗ: x > −7, причём x ≠ −3, x ≠ −1 и x ≠ 1.

шаг 2.Метод рационализации

Единицу справа записываем как логарифм самого основания — тогда обе части становятся логарифмами одного основания. По методу рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
loga⁡f−loga⁡g(a−1)(f−g)a>0,a≠1,f,g>0af−ag(a−1)(f−g)a>0,a≠1|f|−|g|(f−g)(f+g)любыеf−gf−gf,g≥0
Множитель (a−1) задаёт направление: при a>1 он положителен (знак как у f−g), при 0<a<1 — отрицателен, знак переворачивается.
 знак их разности совпадает со знаком произведения (основание − 1) · (аргумент слева − аргумент справа).
log0,25(x+1)2⁡x+74−log0,25(x+1)2⁡(0,25(x+1)2)≤0
(0,25(x+1)2−1)(x+74−0,25(x+1)2)≤0
((x+1)24−1)(x+74−(x+1)24)≤0
(x+1)2−44⋅x+7−(x+1)24≤0
((x+1)2−4)(x+7−(x+1)2)≤0

Обе части умножили на 16 — число положительное, поэтому знак неравенства сохраняется, а знаменатели сокращаются.

шаг 3.Раскладываем на множители

Первую скобку раскрываем по формуле разности квадратов a² − b² = (a − b)(a + b). Вторую сначала приводим к обычному виду квадратного трёхчлена и раскладываем по корням.

(x+1)2−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=
=(x−1)(x+3)
x+7−(x+1)2=x+7−x2−2x−1=
=−x2−x+6=−(x2+x−6)=−(x+3)(x−2)
(x−1)(x+3)⋅(−(x+3)(x−2))≤0
−(x−1)(x+3)2(x−2)≤0

Корни x² + x − 6 ловятся устно: по теореме Виета их сумма равна −1, а произведение равно −6 — подходят −3 и 2. Множитель (x + 3) встретился дважды — получился квадрат (x + 3)². Минус перед произведением оставляем: знак определит пробная точка.

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корень x = −3 имеет чётную кратность: петелька, знак через него не меняется. Корни x = 1 и x = 2 закрашены (нестрогое ≤). На оси ОДЗ выколоты −3, −1 и 1, а слева решение обрезано границей −7.

−−+−неравенство3−12
−∞
+∞
x
ОДЗ7−3−1−1
−∞
+∞
x
пересечение7−3−1−12
−∞
+∞
x
Пробная точка x = 3 на интервале (2; +∞): −(3 − 1)(3 + 3)²(3 − 2) = −2 · 36 · 1 = −72 < 0 — знак «−», интервал входит в решение. Через x = 1 и x = 2 знак меняется, через x = −3 — нет (петелька). Пересечение с ОДЗ выкалывает −3, −1 и 1 и обрезает решение слева точкой −7.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

ответ

x∈(−7;−3)∪(−3;−1)∪(−1;1)∪[2;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -