Задача 10151397 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{1 + \frac{x}{2}} (x + 7) \cdot \log_{\frac{x}{2} + 1} \frac{x + 7}{{(\frac{x}{2} + 1)}^{3}} \leq - 2

шаг 1.Область допустимых значений

У обоих логарифмов одно и то же основание 1 + x/2: оно положительно и не равно единице. Аргумент x + 7 положителен.

ОДЗ

{\begin{matrix} 1 + \frac{x}{2} > 0, 1 + \frac{x}{2} \neq 1 \\ x + 7 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > - 2, x \neq 0 \\ x > - 7 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} x > - 2 \\ x \neq 0 \end{matrix}

Аргумент второго логарифма — частное положительного x + 7 и положительной степени основания, поэтому он положителен автоматически.

шаг 2.Замена переменной

Обозначим a = 1 + x/2 и u = log_a(x + 7). Логарифм частного — разность логарифмов, а log_a a³ = 3, поэтому второй множитель равен u − 3.

a = 1 + \frac{x}{2}, u = \log_{a} (x + 7)

\log_{a} \frac{x + 7}{a^{3}} = \log_{a} (x + 7) - \log_{a} a^{3} = u - 3

u (u - 3) \leq - 2

Основание второго логарифма записано как x/2 + 1 — это то же самое a.

шаг 3.Решаем относительно u

Переносим двойку влево и раскладываем квадратный трёхчлен по теореме Виета.

u^{2} - 3 u + 2 \leq 0

(u - 1) (u - 2) \leq 0

Проверка по Виета: для u² − 3u + 2 сумма корней должна равняться 3, произведение — 2. У нас 1 + 2 = 3 и 1 · 2 = 2 — оба сходятся. Парабола ветвями вверх, корни закрашены (нестрогое ≤): трёхчлен неположителен между корнями. Решение: 1 ≤ u ≤ 2.

шаг 4.Обратная замена: метод рационализации

Двойное неравенство распадается на систему из двух. Основание зависит от x, поэтому знак каждой разности логарифмов определяем методом рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). ОДЗ уже выписана в первом шаге, поэтому добавлять её условия повторно не нужно.

{\begin{matrix} \log_{a} (x + 7) \geq \log_{a} a & 1 \\ \log_{a} (x + 7) \leq \log_{a} a^{2} & 2 \end{matrix}

a - 1 = \frac{x}{2}, (x + 7) - a = \frac{x + 12}{2}, (x + 7) - a^{2} = \frac{24 - x^{2}}{4}

a² = (1 + x/2)² = 1 + x + x²/4, поэтому (x + 7) − a² = 6 − x²/4 = (24 − x²)/4.

шаг 5.Неравенство ①

Перемножаем найденные множители и убираем положительный знаменатель 4.

1 \frac{x}{2} \cdot \frac{x + 12}{2} \geq 0

x (x + 12) \geq 0

Парабола ветвями вверх, корни закрашены (нестрогое ≥): произведение неотрицательно вне корней. Решение ①: x ≤ −12 или x ≥ 0.

шаг 6.Неравенство ②

Здесь произведение должно быть неположительным. Умножаем обе части на −1, чтобы старший коэффициент стал положительным, и раскладываем разность квадратов.

2 \frac{x}{2} \cdot \frac{24 - x^{2}}{4} \leq 0

x (24 - x^{2}) \leq 0

x (x^{2} - 24) \geq 0

x (x - 2 \sqrt{6}) (x + 2 \sqrt{6}) \geq 0

Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≤» становится «≥». Разность квадратов: x² − 24 = (x − 2√6)(x + 2√6). Пробная точка x = 1 на интервале (0; 2√6): 1 · (1 − 24) = −23 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ②: [−2√6; 0] ∪ [2√6; +∞).

шаг 7.Пересечение

Сводим оси в одну. Общими у ① и ② оказываются изолированная точка x = 0 и луч [2√6; +∞), но точку x = 0 убирает ОДЗ: там основание логарифма равно единице.

Проверка: x = 5 ⇒ основание 3,5, аргумент 12, u = log₃,₅ 12 ≈ 1,98 — попадает в отрезок [1; 2] ✓. Проверка: x = 4 ⇒ основание 3, аргумент 11, u = log₃ 11 ≈ 2,18 > 2 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in [2 \sqrt{6}; + \infty)