Задача 10151168 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Первый аргумент — полный квадрат: он положителен всюду, кроме одной точки. Второй аргумент — дробь, её положительность решаем методом интервалов.

ОДЗ

x^{2} - 10 x + 25 = {(x - 5)}^{2}

{(x - 5)}^{2} > 0 ⟺ x \neq 5

\frac{x + 2}{x - 2} > 0

Чётная степень (x − 5)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 5, поэтому (x − 5)² > 0 равносильно x ≠ 5. Пробная точка x = 0 для дроби: (0 + 2) сверху и (0 − 2) снизу, дробь равна −1 < 0 — знак «−» на интервале (−2; 2), по краям «+». Точка −2 выколота строгим неравенством, точка 2 — как нуль знаменателя. Аргумент правого логарифма отдельным условием не выписываем: слева стоит логарифм положительного числа, а из log₂A ≤ log₂B при A > 0 сразу следует B ≥ A > 0.

шаг 2.Приводим логарифмы к основанию 2

Оба левых логарифма переводим в основание 2 по формуле перехода. Чётная степень выносится из-под логарифма с модулем, а минус перед вторым логарифмом превращается в плюс. Затем сумму логарифмов сворачиваем в логарифм произведения.

\log_{2} 4 = 2

\log_{4} {(x - 5)}^{2} = \frac{\log_{2} {(x - 5)}^{2}}{2} = \frac{2 \log_{2} | x - 5 |}{2} = \log_{2} | x - 5 |

\log_{2} 0,5 = - 1

\log_{0,5} \frac{x + 2}{x - 2} = - \log_{2} \frac{x + 2}{x - 2}

\log_{2} | x - 5 | + \log_{2} \frac{x + 2}{x - 2} \leq \log_{2} \frac{x^{3} - 6 x^{2} - x + 30}{x - 2}

\log_{2} (| x - 5 | \cdot \frac{x + 2}{x - 2}) \leq \log_{2} \frac{x^{3} - 6 x^{2} - x + 30}{x - 2}

Чётная степень выносится с модулем: log₂(x − 5)² = 2log₂|x − 5| — выражение (x − 5)² определено и при x < 5, и без модуля мы потеряли бы эту ветку. log₂0,5 = log₂2⁻¹ = −1, поэтому деление на него меняет знак у всего логарифма.

шаг 3.Раскладываем кубический многочлен

Числитель правой части — кубический многочлен со старшим коэффициентом 1. Корни ищем по теореме Безу среди делителей свободного члена 30.

P (x) = x^{3} - 6 x^{2} - x + 30

P (5) = 125 - 150 - 5 + 30 = 0

P (- 2) = - 8 - 24 + 2 + 30 = 0

P (3) = 27 - 54 - 3 + 30 = 0

x^{3} - 6 x^{2} - x + 30 = (x - 5) (x + 2) (x - 3)

Найдены три корня, а больше трёх у кубического многочлена быть не может; старший коэффициент равен 1, поэтому разложение именно такое. Проверка раскрытием: (x − 5)(x + 2) = x² − 3x − 10, затем (x² − 3x − 10)(x − 3) = x³ − 6x² − x + 30.

шаг 4.Снимаем логарифм

Основание 2 > 1 — логарифм возрастает, знак неравенства сохраняется. Дробь (x + 2)/(x − 2) по ОДЗ строго положительна, поэтому на неё делим обе части.

\log_{2} (| x - 5 | \cdot \frac{x + 2}{x - 2}) \leq \log_{2} ((x - 5) (x - 3) \cdot \frac{x + 2}{x - 2})

| x - 5 | \cdot \frac{x + 2}{x - 2} \leq (x - 5) (x - 3) \cdot \frac{x + 2}{x - 2}

| x - 5 | \leq (x - 5) (x - 3)

Деление на положительное число знак неравенства сохраняет, а положительность дроби (x + 2)/(x − 2) — это как раз второе условие ОДЗ.

шаг 5.Раскрываем модуль

Модуль раскрываем по знаку подмодульного выражения. Точка x = 5 исключена ОДЗ, поэтому случаев ровно два. В каждом переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель (x − 5).

x > 5 : x - 5 \leq (x - 5) (x - 3)

(x - 5) (x - 3) - (x - 5) \geq 0

(x - 5) (x - 4) \geq 0

x - 5 > 0, x - 4 > 0

x \in (5; + \infty)

x < 5 : 5 - x \leq (x - 5) (x - 3)

(x - 5) (x - 3) + (x - 5) \geq 0

(x - 5) (x - 2) \geq 0

x - 5 < 0, x - 2 \leq 0

x \leq 2

Слева: при x > 5 обе скобки (x − 5) и (x − 4) положительны, значит неравенство выполняется при всех x > 5. Справа: при x < 5 скобка (x − 5) отрицательна, поэтому произведение неотрицательно только когда вторая скобка не положительна, то есть x ≤ 2. Объединяя оба случая: x ≤ 2 или x > 5.

шаг 6.Пересечение с ОДЗ

Полученное множество пересекаем с ОДЗ.

ОДЗ выбрасывает весь отрезок от −2 до 2, поэтому от луча x ≤ 2 остаётся только x < −2, а сама точка 2 выколота — там знаменатель обращается в ноль. Луч x > 5 целиком лежит в ОДЗ; точка 5 выколота — в ней первый аргумент логарифма равен нулю.

условие